Question

已知冪函數(shù)f（x）=xm2-2m-3（m∈Z）在（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，且為偶函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論F（x）=af（x）+（a-2）x⁵•f（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

考點：冪函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)在（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，且為偶函數(shù)，得冪指數(shù)小于0，再由m∈z可求m的值；
（2）由（I）知F（x）=a•x^-4+（a-2）x，分a=0，a=2，a≠0且a≠2三種情況利用定義分別判斷函數(shù)的奇偶性．

解答： 解：（1）由冪函數(shù)f（x）=xm2-2m-3（m∈Z）在（0，+∞）是單調(diào)減函數(shù)，
得：m²-2m-3＜0⇒-1＜m＜3，又m∈z，∴m=0或1或2，
m=0時f（x）=x^-3；m=1時f（x）=x^-4，m=2時f（x）=x^-3，
又函數(shù)是偶函數(shù)，∴f（x）=x^-4．
（2）F（x）=a•x^-4+（a-2）x，
當a=0時，F(xiàn)（x）=-2x，∵F（-x）=-F（x），∴函數(shù)是奇函數(shù)；
當a=2時，F(xiàn)（x）=

2

x4

，∵F（-x）=F（x），∴函數(shù)是偶函數(shù)；
當a≠0且a≠2時，F(xiàn)（1）=2a-2，F(xiàn)（-1）=2，
F（1）≠±F（-1），∴函數(shù)對?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），F(xiàn)（-x）=F（x）不成立，F(xiàn)（-x）=-F（x）也不成立，
∴函數(shù)F（x）是非奇非偶函數(shù)．

點評：本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)奇偶性的判定，數(shù)列掌握冪函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．