Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，H分別是AA₁、BB₁的中點，求證：
（1）AC₁∥平面EB₁D₁；
（2）平面EB₁D₁∥平面AHC₁．

Answer 1

考點：平面與平面平行的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連A₁C₁，A₁C₁交B₁D₁與點O，根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明AC₁∥平面EB₁D₁．
（2）首先利用直線與平面平行的判定定理證明HC₁∥平面EB₁D₁．再由（1）知AC₁∥平面EB₁D₁．利用平面與平面平行的判定定理即可得到平面EB₁D₁∥平面AHC₁

解答： 證明：（1）連A₁C₁，A₁C₁交B₁D₁與點O，
∵四邊形A₁B₁C₁D₁為平行四邊形，
則點O是A₁C₁的中點，
又∵E是AA₁的中點，
∴EO是△AA₁C₁的中位線，
∴EO∥AC₁
又∵AC₁?面EB₁D₁，EO?面EB₁D₁，
∴AC₁∥平面EB₁D₁．
（2）連接EH，
∵E，H分別是AA₁、BB₁的中點
則EH∥A₁B₁．且EH=A₁B₁．
又∵A₁B₁∥C₁D₁，且A₁B₁=C₁D₁，
∴EH∥C₁D₁，且EH=C₁D₁．
∴四邊形EHC₁D₁是平行四邊形．
∴ED₁∥HC₁．
又∵ED₁?平面EB₁D₁，HC₁?平面EB₁D₁，
∴HC₁∥平面EB₁D₁．
由（1）知，AC₁∥平面EB₁D₁，
∵AC₁∩HC₁=C₁，
∴平面EB₁D₁∥平面AHC₁．

點評：本題考查直線與平面平行以及平面與平面平行的判定定理．屬于中檔題．