Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求證：
（1）AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）BD₁⊥平面ACB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由AC⊥BD，AC⊥BB₁，由此能夠證明AC⊥平面B₁D₁DB．
（2）利用線面垂直的判定與性質(zhì)，證明AC⊥BD₁，AB₁⊥BD₁，即可證得結(jié)論．

解答： 證明：（1）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB₁，
又∵AC⊥BD，BD∩B₁B=B，
∴AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）∵AC⊥平面BDD₁B₁，
又BD₁?平面BDD₁B₁，
∴AC⊥BD₁，同理可證AB₁⊥BD₁，
∵AC與AB₁是平面ACB₁內(nèi)的兩條相交直線，
∴BD₁⊥平面ACB₁．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．