Question

【題目】已知數(shù)列，滿足：．

（1）若，求數(shù)列的通項公式；

（2）若，且．

① 記，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

② 若數(shù)列中任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次，求首項應滿足的條件．

Answer 1

【答案】（1）

（2）①根據(jù)等差數(shù)列的定義，證明相鄰兩項的差為定值來得到證明．從第二項起滿足題意即可．

②當，數(shù)列任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次

【解析】

試題解：（1）當時，有

．

又也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是． 4分

（2）①因為對任意的，有，所以，

，

所以，數(shù)列為等差數(shù)列． 8分

②設（其中為常數(shù)且，

所以，，

即數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列． 10分

設．

（其中為中一個常數(shù)）

當時，對任意的，有； 12分

當時，．

（Ⅰ）若，則對任意的有，所以數(shù)列為遞減數(shù)列；

（Ⅱ）若，則對任意的有，所以數(shù)列為遞增數(shù)列．

綜上所述，集合．

當時，數(shù)列中必有某數(shù)重復出現(xiàn)無數(shù)次；

當時，數(shù)列均為單調(diào)數(shù)列，任意一個數(shù)在這6個數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列任意一項的值均未在該數(shù)列中重復出現(xiàn)無數(shù)次． 18分