【題目】如圖,在三棱錐中,底面,.點(diǎn)、分別為棱、、的中點(diǎn),是線段的中點(diǎn),,

1)求證:平面;

2)求二面角的正弦值;

3)已知點(diǎn)在棱上,且直線與直線所成角的余弦值為,求線段的長.

【答案】(1)見解析;(2);(34

【解析】

1)取中點(diǎn),連接,證明平面平面得到答案.

2)以為原點(diǎn),分別以、、所在直線為、軸建立空間直角坐標(biāo)系.平面的一個(gè)法向量為,平面的一個(gè)法向量為,計(jì)算夾角得到答案.

3)設(shè),則,,利用夾角公式計(jì)算得到答案.

1)取中點(diǎn),連接,∵中點(diǎn),∴

平面,平面,∴平面

中點(diǎn),∴,

、分別為、的中點(diǎn),∴,則

平面平面,∴平面

平面,平面

∴平面平面,又平面,則平面

2)∵底面,

∴以為原點(diǎn),分別以、所在直線為、軸建立空間直角坐標(biāo)系.

,

,,,,

,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,得,取,得

由圖可得平面的一個(gè)法向量為

∴二面角的余弦值為,則正弦值為

3)設(shè),則,,

∵直線與直線所成角的余弦值為,∴

解得:(舍).

∴當(dāng)重合時(shí)直線與直線所成角的余弦值為,此時(shí)線段的長為4

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知等比數(shù)列的首項(xiàng),數(shù)列項(xiàng)和記為,前項(xiàng)積記為.

(1) ,求等比數(shù)列的公比;

(2) (1)的條件下,判斷的大;并求為何值時(shí),取得最大值;

(3) (1)的條件下,證明:若數(shù)列中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列,則總可以使其成等差數(shù)列;若所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次記為,則數(shù)列為等比數(shù)列.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),CD兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.又曲線上的點(diǎn)A、B滿足.

1)求曲線的方程;

2)若點(diǎn)A在第一象限,且,求點(diǎn)A的坐標(biāo);

3)求證:原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知fx)=log4(4x+1)+kx是偶函數(shù).

(1)求k的值;

(2)判斷函數(shù)y=fx)-xR上的單調(diào)性,并加以證明;

(3)設(shè)gx)=log4a2x-a),若函數(shù)fx)與gx)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)雙曲線方程為,過其右焦點(diǎn)且斜率不為零的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn),直線的方程為,A,B在直線上的射影分別為CD.

1)當(dāng)垂直于x軸,時(shí),求四邊形的面積;

2的斜率為正實(shí)數(shù),A在第一象限,B在第四象限,試比較1的大;

3)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)滿足題意的任意,直線和直線的交點(diǎn)總在軸上,若存在,求出所有的值和此時(shí)直線交點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列,滿足:

1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

2)若,且

,求證:數(shù)列為等差數(shù)列;

若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無數(shù)次,求首項(xiàng)應(yīng)滿足的條件.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,某市三地A,B,C有直道互通.現(xiàn)甲交警沿路線AB乙交警沿路線ACB同時(shí)從A地出發(fā),勻速前往B地進(jìn)行巡邏,并在B地會(huì)合后再去執(zhí)行其他任務(wù).已知AB=10km,AC=6km,BC=8km,甲的巡邏速度為5km/h,乙的巡邏速度為10km/h.

(1)求乙到達(dá)C地這一時(shí)刻的甲乙兩交警之間的距離;

(2)已知交警的對(duì)講機(jī)的有效通話距離不大于3km,從乙到達(dá)C地這一時(shí)刻算起,求經(jīng)過多長時(shí)間,甲乙方可通過對(duì)講機(jī)取得聯(lián)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分.

從數(shù)列中取出部分項(xiàng),并將它們按原來的順序組成一個(gè)數(shù)列,稱之為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列.

設(shè)數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為、公差為的無窮等差數(shù)列.

1)若,成等比數(shù)列,求其公比

2)若,從數(shù)列中取出第2項(xiàng)、第6項(xiàng)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng),試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列,請(qǐng)說明理由.

3)若,從數(shù)列中取出第1項(xiàng)、第項(xiàng)(設(shè))作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng),試問當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí),該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列,請(qǐng)說明理由.

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【題目】在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7n mile以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55n mile處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A,某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40n mile的位置B,經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東(其中)且與點(diǎn)A相距10n mile的位置C

I)求該船的行駛速度(單位:n mile /h;

II)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說明理由.

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