Question

若存在區(qū)間[m，n]，使得函數(shù)f（x）定義域為[m，n]時，其值域為[km，kn]（k∈N^*），則稱區(qū)間[m，n]為函數(shù)f（x）的“k倍區(qū)間”．已知函數(shù)f（x）=x³+sinx，則f（x）的“5倍區(qū)間”的個數(shù)是（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：新定義

分析：由函數(shù)f（x）的“k倍區(qū)間”的定義，結(jié)合函數(shù)f（x）=x³+sinx的單調(diào)性，即可得到函數(shù)f（x）的“5倍區(qū)間”的個數(shù)．

解答： 解：令f（x）=5x，求y=f（x）-5x，y′=3x²-5+cosx，
令y′=0，拋物線y=x²-5與y=cosx只有兩個交點，且x=±a，1.3＜a＜1.4，a＜

π

2

，
y=x³+sinx-5x在（-∞，-a）是增函數(shù)，（-a，a）是減函數(shù)，（a，+∞）是增函數(shù)，
則函數(shù)y=x³+sinx-5x的極大值是（-a）³+sin（-a）+5a＞0，極小值是a³+sina-5a＜0，
∴f（x）-5x=0有3根，∴y=f（x）與y=5x有3個公共點．
故選：D．

點評：本題考查新定義，主要考查函數(shù)的考查函數(shù)單調(diào)性的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，正確理解新定義是關(guān)鍵，屬于中檔題．