Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

3

)x-log2x，正實(shí)數(shù)a、b、c成公差為正數(shù)的等差數(shù)列，且滿足f（a）f（b）f（c）＜0，若實(shí)數(shù)d是方程f（x）=0的一個(gè)解，那么下列四個(gè)判斷：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中，有可能成立的個(gè)數(shù)為

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)出a，b，c的關(guān)系，推出a，b，c，d的大小關(guān)系，得到選項(xiàng)推出結(jié)果．

解答：解：f(x)=(

1

3

)x-log2x，是由y=(

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3

)x 和 y=-log₂x，
兩個(gè)函數(shù)中，每個(gè)函數(shù)都是減函數(shù)，所以，函數(shù)為減函數(shù)．
∵正實(shí)數(shù)a，b，c是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，
∴不妨設(shè)0＜a＜b＜c
∵f（a）f（b）f（c）＜0
則f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0   或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0
綜合以上兩種可能，恒有 f（c）＜0
所以可能有①d＜a；②d＜b；④d＜c，正確．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，正確估計(jì)函數(shù)值與a，b，c的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力．