Question

設(shè)函數(shù)的定義域是,其中常數(shù).
(1)若,求的過原點(diǎn)的切線方程.
(2)當(dāng)時(shí),求最大實(shí)數(shù),使不等式對恒成立.
(3)證明當(dāng)時(shí),對任何,有.

Answer 1

(1)切線方程為和.(2)的最大值是.（3）詳見解析.

試題分析：(1)一般地，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：.注意，此題是求過原點(diǎn)的切線，而不是求在原點(diǎn)處切線方程，而該曲線又過原點(diǎn)，故有原點(diǎn)為切點(diǎn)和原點(diǎn)不為切點(diǎn)兩種情況.當(dāng)原點(diǎn)不為切點(diǎn)時(shí)需把切點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)出來.(2)令,則問題轉(zhuǎn)化為對恒成立.注意到,所以如果在單調(diào)增,則必有對恒成立.下面就通過導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性.（3）不等式可變形為：.為了證這個(gè)不等式，首先證；而證這個(gè)不等式可利用導(dǎo)數(shù)證明.故令，然后利用導(dǎo)數(shù)求在區(qū)間上范圍即可.
試題解析：(1).若切點(diǎn)為原點(diǎn),由知切線方程為;
若切點(diǎn)不是原點(diǎn),設(shè)切點(diǎn)為,由于,故由切線過原點(diǎn)知,在內(nèi)有唯一的根.
又,故切線方程為.
綜上所述,所求切線有兩條,方程分別為和.
(2)令,則,,顯然有,且的導(dǎo)函數(shù)為：
.
若,則,由知對恒成立,從而對恒有,即在單調(diào)增,從而對恒成立,從而在單調(diào)增,對恒成立.
若,則,由知存在,使得對恒成立,即對恒成立,再由知存在,使得對恒成立,再由便知不能對恒成立.
綜上所述,所求的最大值是.
（3）當(dāng)時(shí)，令，則，故當(dāng)時(shí)，恒有，即在單調(diào)遞減，故，對恒成立.又，故，即對恒有：
，
在此不等式中依次取，得：
，，
，
，
，
…………………………
，
將以上不等式相加得：，即.