【題目】已知點(diǎn)P(2,2),圓Cx2y2-8y=0,過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于AB兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)M的軌跡方程;

(2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程.

【答案】(1) M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2 (2) x+3y-8=0

【解析】

(1)C的方程即x2+(y-4)2=16,設(shè)M(x,y),則=(xy-4),=(2-x,2-y).·=0可得M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)由題意結(jié)合(1)的結(jié)論可得M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓.結(jié)合幾何關(guān)系可知,l的斜率為-,故l的方程為x+3y-8=0.

(1)C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.

設(shè)M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y).

由題設(shè)知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.

由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓.

由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ONPM.

因?yàn)?/span>ON的斜率為3,所以l的斜率為-,故l的方程為x+3y-8=0.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作,該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元,每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元;乙方案:底薪140元,每日前55單沒有獎(jiǎng)勵(lì),超過55單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)12元.

(Ⅰ)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y(單位:元)與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式;

(Ⅱ)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄,發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件:在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖,其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在(]n=1,2,3,4,5)時(shí),日平均派送量為50+2n單.若將頻率視為概率,回答下列問題:

①根據(jù)以上數(shù)據(jù),設(shè)每名派送員的日薪為X(單位:元),試分別求出甲、乙兩種方案的日薪X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;

②結(jié)合①中的數(shù)據(jù),根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的思想,幫助小明分析,他選擇哪種薪酬方案比較合適,并說明你的理由。

(參考數(shù)據(jù):0.62=0.36,1.42=1.9 6,2.6 2=6.76,3.42=1 1.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1971.36)

【答案】甲方案的函數(shù)關(guān)系式為: ,乙方案的函數(shù)關(guān)系式為:;(Ⅱ)①見解析,②見解析.

【解析】

由題意可得甲方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為: 乙方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為:.

①由題意求得X的分布列,據(jù)此計(jì)算可得,,.

②答案一:由以上的計(jì)算可知,遠(yuǎn)小于,即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小,所以小明應(yīng)選擇甲方案.

答案二:由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,,所以小明應(yīng)選擇乙方案.

Ⅰ)甲方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為: ,

乙方案中派送員日薪(單位:元)與送單數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為:

①由已知,在這100天中,該公司派送員日平均派送單數(shù)滿足如下表格:

單數(shù)

52

54

56

58

60

頻率

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

所以的分布列為:

152

154

156

158

160

0.2

0.3

0.2

0.2

0.1

所以

所以的分布列為:

140

152

176

200

0.5

0.2

0.2

0.1

所以

②答案一:由以上的計(jì)算可知,雖然,但兩者相差不大,且遠(yuǎn)小于,即甲方案日工資收入波動(dòng)相對(duì)較小,所以小明應(yīng)選擇甲方案.

答案二:由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出,,即甲方案日工資期望小于乙方案日工資期望,所以小明應(yīng)選擇乙方案.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查頻率分布直方圖,數(shù)學(xué)期望與方差的含義與實(shí)際應(yīng)用等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

型】解答
結(jié)束】
20

【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且離心率為,M為橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)∠F1MF2=90°時(shí),△F1MF2的面積為1.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)已知點(diǎn)A是橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的一點(diǎn),延長(zhǎng)直線AF1,AF2分別與橢圓交于點(diǎn)B,D,設(shè)直線BD的斜率為k1,直線OA的斜率為k2,求證:k1·k2等于定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與x軸的正半軸重合,圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=asinθ,直線l的參數(shù)方程是 (t為參數(shù))
(1)若a=2,直線l與x軸的交點(diǎn)是M,N是圓C上一動(dòng)點(diǎn),求|MN|的最大值;
(2)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)等于圓C的半徑的 倍,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解高中生作文成績(jī)與課外閱讀量之間的關(guān)系,某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了60名高中生,通過問卷調(diào)查,得到以下數(shù)據(jù):

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

k

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

由以上數(shù)據(jù),計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k≈9.643,根據(jù)臨界值表,以下說法正確的是(  )

A. 沒有充足的理由認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)

B. 0.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)

C. 99.9%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)

D. 99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績(jī)優(yōu)秀有關(guān)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一商場(chǎng)對(duì)每天進(jìn)店人數(shù)和商品銷售件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)對(duì)比,得到如下表格:

其中=1,2,3,4,5,6,7.

(1)以每天進(jìn)店人數(shù)為橫軸,每天商品銷售件數(shù)為縱軸,畫出散點(diǎn)圖;

(2)求線性回歸方程;(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后兩位)

(參考數(shù)據(jù):=3 245, =25, =15.43, =5 075)

(3)預(yù)測(cè)進(jìn)店人數(shù)為80人時(shí),商品銷售的件數(shù).(結(jié)果保留整數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=2cos2ωx+2 sinωxcosωx﹣1,且f(x)的周期為2.
(Ⅰ)當(dāng) 時(shí),求f(x)的最值;
(Ⅱ)若 ,求 的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(﹣1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf′(x)﹣f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)fx=x2+alnx

1)若a=﹣1,求函數(shù)fx)的極值,并指出極大值還是極小值;

2)若a=1,求函數(shù)fx)在[1e]上的最值;

3)若a=1,求證:在區(qū)間[1+∞)上,函數(shù)fx)的圖象在gx=x3的圖象下方.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)x,y滿足約束條件 ,目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值M,若M的取值范圍是[1,2],則點(diǎn)M(a,b)所經(jīng)過的區(qū)域面積=

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