Question

①已知：a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根．②求證：

6

+

7

＞2

2

+

5

．

Answer 1

分析：①一方面，由ax=b，且a≠0，方程兩邊同除以a得方程ax=b有一個(gè)根x=

b

a

，另一方面，假設(shè)方程ax=b還有一個(gè)根x ₀且x ₀≠

b

a

，則由此不等式兩邊同乘以a得ax ₀≠b，得到與假設(shè)矛盾．最后綜上所述，方程ax=b有且只有一個(gè)根．
②本小題利用分析法證明．只須從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，即先進(jìn)行兩邊平方，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即得．

解答：證明：①一方面，∵ax=b，且a≠0，
方程兩邊同除以a得：x=

b

a

，
∴方程ax=b有一個(gè)根x=

b

a

，
另一方面，假設(shè)方程ax=b還有一個(gè)根x ₀
且x ₀≠

b

a

，則由此不等式兩邊同乘以a得ax ₀≠b，
這與假設(shè)矛盾，故方程ax=b只有一個(gè)根．
綜上所述，方程ax=b有且只有一個(gè)根．
②（分析法）
要證：

6

+

7

＞2

2

+

5

成立，…（3分）
即證：(

6

+

7

)2＞(2

2

+

5

)2…（5分）
只需證：13+2

42

＞13+2

40

即證：42＞40     …（8分）
∵42＞40顯然成立，∴

6

+

7

＞2

2

+

5

．證畢． …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查綜合法、分析法及反證法，分析法證明的關(guān)鍵是理解分析法的原理，掌握其證明的步驟，從結(jié)論出發(fā)，逐步尋求命題成立的條件．