Question

①已知：a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根．②求證：＞．

Answer 1

證明：①一方面，∵ax=b，且a≠0，
方程兩邊同除以a得：x=，
∴方程ax=b有一個根x=，
另一方面，假設(shè)方程ax=b還有一個根x ₀
且x ₀≠，則由此不等式兩邊同乘以a得ax ₀≠b，
這與假設(shè)矛盾，故方程ax=b只有一個根．
綜上所述，方程ax=b有且只有一個根．
②（分析法）
要證：＞2成立，…（3分）
即證：＞…（5分）
只需證：13+2＞13+2
即證：42＞40 …（8分）
∵42＞40顯然成立，∴＞．證畢． …（10分）
分析：①一方面，由ax=b，且a≠0，方程兩邊同除以a得方程ax=b有一個根x=，另一方面，假設(shè)方程ax=b還有一個根x ₀且x ₀≠，則由此不等式兩邊同乘以a得ax ₀≠b，得到與假設(shè)矛盾．最后綜上所述，方程ax=b有且只有一個根．
②本小題利用分析法證明．只須從結(jié)論出發(fā)進行分析轉(zhuǎn)化，即先進行兩邊平方，再進行化簡即得．
點評：本題考查綜合法、分析法及反證法，分析法證明的關(guān)鍵是理解分析法的原理，掌握其證明的步驟，從結(jié)論出發(fā)，逐步尋求命題成立的條件．