【題目】(本小題滿分12分)
已知拋物線C的方程C:y2="2" p x(p>0)過點(diǎn)A(1,-2).
(I)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
(II)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由。
【答案】(I)拋物線C的方程為,其準(zhǔn)線方程為
(II)符合題意的直線l 存在,其方程為2x+y-1 =0.
【解析】
試題(Ⅰ)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,一般利用待定系數(shù)法,只需一個(gè)獨(dú)立條件確定p的值:(-2)2=2p·1,所以p=2.再由拋物線方程確定其準(zhǔn)線方程:,(Ⅱ)由題意設(shè)
:
,先由直線OA與
的距離等于
根據(jù)兩條平行線距離公式得:
解得
,再根據(jù)直線
與拋物線C有公共點(diǎn)確定
試題解析:解 (1)將(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,
所以p=2.
故所求的拋物線C的方程為
其準(zhǔn)線方程為.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線,
其方程為.
由得
.
因?yàn)橹本與拋物線C有公共點(diǎn),
所以Δ=4+8t≥0,解得.
另一方面,由直線OA到的距離
可得,解得
.
因?yàn)椋?/span>1[-,+∞),1∈[-
,+∞),
所以符合題意的直線存在,其方程為
.
考點(diǎn):拋物線方程,直線與拋物線位置關(guān)系
【名師點(diǎn)睛】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及流程
(1)方法:求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法,因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需一個(gè)條件確定p值即可.
(2)流程:因?yàn)閽佄锞方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式,因此求拋物線方程時(shí),需先定位,再定量.
提醒:求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式,必要時(shí)要進(jìn)行分類討論,標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為y2=mx或x2=my(m≠0).
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知橢圓:
的左右焦點(diǎn)與其短軸的一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)
在橢圓
上.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線過橢圓左焦點(diǎn)
交橢圓于
,
為橢圓短軸的上頂點(diǎn),當(dāng)直線
時(shí),求
的面積.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì),得到的一個(gè)關(guān)系式,結(jié)合
求得
的關(guān)系式,將點(diǎn)
的坐標(biāo)代入橢圓方程,由此求得
的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(2)根據(jù)(1)求得
點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得
和
的斜率,寫出直線
的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理,利用弦長公式求得
,由兩點(diǎn)間距離公式求得
,進(jìn)而求得三角形
的面積.
(1)由題意知,即
,
,
即,
∵在橢圓上,∴
,
,
,
所以橢圓的方程為
.
(2),則
,
,∴
,
∴直線的方程為:
,
將其代入:得:
設(shè),
∴,
,
,
又,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x),且f(1)=6,f(3)=2.若不等式f(x)>2mx+1在[-1,3]恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市每年春節(jié)前后,由于大量的煙花炮竹的燃放,空氣污染較為嚴(yán)重.該市環(huán)保研究所對近年春節(jié)前后每天的空氣污染情況調(diào)查研究后發(fā)現(xiàn),每天空氣污染的指數(shù).f(t),隨時(shí)刻t(時(shí))變化的規(guī)律滿足表達(dá)式,其中a為空氣治理調(diào)節(jié)參數(shù),且a∈(0,1).
(1)令,求x的取值范圍;
(2)若規(guī)定每天中f(t)的最大值作為當(dāng)天的空氣污染指數(shù),要使該市每天的空氣污染指數(shù)不超過5,試求調(diào)節(jié)參數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是雙曲線
:
的右焦點(diǎn),
是
左支上的點(diǎn),已知
,則
周長的最小值是_______.
【答案】
【解析】
設(shè)左焦點(diǎn)為,利用雙曲線的定義,
得到當(dāng)
三點(diǎn)共線時(shí),三角形
的周長取得最小值,并求得最小的周長.
設(shè)左焦點(diǎn)為,根據(jù)雙曲線的定義可知
,所以三角形
的周長為
,當(dāng)
三點(diǎn)共線時(shí),
取得最小值,三角形
的周長取得最小值.
,故三角形周長的最小值為
.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查雙曲線的定義,考查三角形周長最小值的求法,屬于中檔題.
【題型】填空題
【結(jié)束】
16
【題目】已知分別是雙曲線
的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)
作垂直與
軸的直線交雙曲線于
,
兩點(diǎn),若
為銳角三角形,則雙曲線的離心率的取值范圍是_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:①函數(shù);
②向量,
,且
,
;
③函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)
請?jiān)谏鲜鋈齻(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并解答.
已知_________________,且函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
.
(1)若,且
,求
的值;
(2)求函數(shù)在
上的單調(diào)遞減區(qū)間.
注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角中,
,
,點(diǎn)
在線段
上.
(Ⅰ) 若,求
的長;
(Ⅱ)若點(diǎn)在線段
上,且
,問:當(dāng)
取何值時(shí),
的面積最。坎⑶蟪雒娣e的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,
平面ABC,
,E是BC的中點(diǎn),
.
求異面直線AE與
所成的角的大。
若G為
中點(diǎn),求二面角
的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列四個(gè)命題:①若直線,那么直線
必平行于平面
內(nèi)的無數(shù)條直線;②一個(gè)長為
,寬為
的矩形,其直觀圖的面積為
;③若函數(shù)
的定義域是
,則
的定義域是
;④定義在
上的函數(shù)
,若
,則函數(shù)
的圖象關(guān)于點(diǎn)
中心對稱.其中所有正確命題的編號為____________.
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