Question

設函數f（x）=x³-3x²-9x+a
（1）對于任意實數x，f′（x）≥m恒成立，求m的取值范圍；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）由題意對于任意實數x，f′（x）≥m恒成立，即3x²-6x-9-m≥0恒成立，借助二次函數的圖象性質，即可得出結論；
（2）轉化為求函數的極值問題解決，利用導數解得函數的極值，即得結論．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-6x-9=3（x-1）（x-3）
因為x∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，即3x²-6x-9-m≥0恒成立，
所以△=36-12（-9-m）≤0，得m≤-12；
（2）因為當x＜1時，f′（x）＞0；當1＜x＜3時，f′（x）＜0；當x＞3時，f′（x）＞0；
所以，當x=1時，f（x）取極大值f（1）=a-11；
當x=3時，f（x）取極小值f（3）=a-27；
故當f（3）＞0 或f（1）＜0時，方程f（x）=0僅有一個實根，
解得a＜11或a＞27．

點評：本題主要考查二次函數的性質及恒成立問題、方程的根問題的處理策略，考查利用導數研究函數的極值的知識，屬中檔題．