Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²-9x+a
（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f′（x）≥m恒成立，求m的取值范圍；
（2）若方程f（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，f′（x）≥m恒成立，即3x²-6x-9-m≥0恒成立，借助二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（2）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問(wèn)題解決，利用導(dǎo)數(shù)解得函數(shù)的極值，即得結(jié)論．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-6x-9=3（x-1）（x-3）
因?yàn)閤∈（-∞，+∞），f′（x）≥m，即3x²-6x-9-m≥0恒成立，
所以△=36-12（-9-m）≤0，得m≤-12；
（2）因?yàn)楫?dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞3時(shí)，f′（x）＞0；
所以，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極大值f（1）=a-11；
當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取極小值f（3）=a-27；
故當(dāng)f（3）＞0 或f（1）＜0時(shí)，方程f（x）=0僅有一個(gè)實(shí)根，
解得a＜11或a＞27．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及恒成立問(wèn)題、方程的根問(wèn)題的處理策略，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的知識(shí)，屬中檔題．