Question

已知f（x）=|ax+1|，a≠0，不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}
（1）求a的值；
（2）若g（x）=

f(x)+f(-x)

2

，g（x）＜|k|存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由|ax+1|≤3得：-4≤ax≤2；分a＞0與a＜0討論，結(jié)合已知原不等式的解集是{x|-1≤x≤2}，即可求得a的值；
（2）易求g（x）=|x-

1

2

|+|x+

1

2

，依題意，g（x）＜|k|存在實(shí)數(shù)解，只需|k|大于g（x）的最小值，而g（x）=|x-

1

2

|+|x+

1

2

，≥|x-

1

2

-（x+

1

2

）|=1，從而去解不等式|k|＞1即可．

解答： 解：（1）由|ax+1|≤3得：-4≤ax≤2；
當(dāng)a＞0時(shí)，-

4

a

≤x≤

2

a

，∵原不等式的解集是{x|-1≤x≤2}，
∴

- 4 a =-1 2 a =2

，該方程組無解；
當(dāng)a＜0時(shí)，

2

a

≤x≤-

4

a

，原不等式的解集是{x|-1≤x≤2}，
∴

2 a =-1 - 4 a =2

，解得a=-2．…（5分）
（2）由題：g（x）=

f(x)+f(-x)

2

=

|-2x+1|+|2x+1|

2

=|x-

1

2

|+|x+

1

2

|，
因?yàn)間（x）＜|k|存在實(shí)數(shù)解，只需|k|大于g（x）的最小值，
由絕對值的幾何意義，g（x）=|x-

1

2

|+|x+

1

2

|≥|x-

1

2

-（x+

1

2

）|=1，所以|k|＞1．
解得：k＜-1或k＞1…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查分類討論思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．