Question

已知

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），且f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]的最大值；
（2）若f（x）=1-

3

，x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=2sin2x，x∈R的圖象經(jīng)過怎樣的變換得出？

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由條件利用兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，再根據(jù)x的范圍求出f（x）在x∈[-

π

3

，

π

3

]的最大值．
（2）由f（x）=1-

3

可得 sin（2x+

π

6

）=-

3

2

，可得 2x+

π

6

=2kπ-

π

3

，或 2x+

π

6

=2kπ+π+

π

3

，k∈z．再根據(jù)x的范圍求出x的值．
（3）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）已知

a

=（2cosx，1），

b

=（cosx，

3

sin2x），f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x
=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，∴f（x）∈[0，3]．
∴f（x）的最大值為：3
（2）若f（x）=1-

3

 可得 sin（2x+

π

6

）=-

3

2

，
∴2x+

π

6

=2kπ-

π

3

，或 2x+

π

6

=2kπ+π+

π

3

，k∈z，
即 x=kπ-

π

4

，或 x=kπ+

7π

12

．
再根據(jù)x∈[-

π

3

，

π

3

]，可得 x=-

π

4

．
（3）把函數(shù)y=2sin2x，x∈R的圖象向左平移

π

12

個單位可得y=sin2（x+

π

12

）=sin（2x+

π

6

）的圖象，
再把所得圖象向上平移1個單位，可得函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1 的圖象．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．