Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ）（θ∈R），

b

=（

3

，1）．
（1）當(dāng)

a

⊥

b

時，求tan2θ的值；
（2）求|

a

+

b

|的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用向量垂直的坐標(biāo)表示，求出tanθ=-

3

，再由二倍角的正切公式，即可得到答案；
（2）求出向量a，b的模和它們的數(shù)量積，再由|

a

+

b

|=

| a + b |2

，運(yùn)用三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，即可求出最大值．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
∴（cosθ，sinθ）•（

3

，1）=0，
即

3

cosθ+sinθ=0，
∴tanθ=-

3

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

-2 3

1-3

=

3

；
（2）∵|

a

|=1，|

b

|=2，

a

•

b

=

3

cosθ+sinθ，
∴|

a

+

b

|=

| a + b |2

=

a 2+ b 2+2 a • b

=

1+4+2( 3 cosθ+sinθ)

=

5+4sin(θ+ π 3 )

∴當(dāng)sin（θ+

π

3

）=1時，|

a

+

b

|的最大值為

5+4

=3．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量垂直的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的化簡和求值，屬于中檔題．