【題目】已知橢圓 ,其左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 離心率為 ,點(diǎn)R的坐標(biāo)為 ,又點(diǎn)F2在線段RF1的中垂線上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1 , A2 , 點(diǎn)P在直線 上(點(diǎn)P不在x軸上),直線PA1 , PA2與橢圓C分別交于不同的兩點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為Q,若|MN|=λ|A1Q|,求λ.
【答案】
(1)
解:∵e= ,∴ ,
∵F2(c,0)在PF1的中垂線上,
∴|F1F2|=|RF2|,(2c)2= 2+(2 ﹣c)2,解得c=2,∴a2=3,b2=1.
∴橢圓C的方程為 +y2=1.
(2)
解:證明:由(Ⅰ)知A1(﹣ ,0),A2( ,0),
設(shè)PA1的方程為y=k(x+ )(k≠0),則P坐標(biāo)(﹣2 ,﹣ k),
∴k = ,∴PA2方程為y= (x﹣ ),
聯(lián)立方程組 ,消元得(3+k2)x2﹣2 k2x+3k2﹣9=0,
解得N( ,﹣ ),
∴k =﹣ ,∴A1M⊥A1N,
∴三角形MNA1為直角三角形,又Q為斜邊中點(diǎn),
∴|MN|=2|A1Q|,即λ=2.
【解析】(1)根據(jù)|F1F2|=|RF2|列方程解出c,從而得出a,b求出橢圓方程;(2)設(shè)PA1的方程為y=k(x+ )(k≠0),求出PA2方程,與橢圓方程聯(lián)立求出N點(diǎn)坐標(biāo),通過(guò)計(jì)算斜率可得A1N⊥A1M,從而得出|MN|=2|A1Q|.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校有高一、高二、高三三個(gè)年級(jí),已知高一、高二、高三的學(xué)生數(shù)之比為2:3;5,現(xiàn)從該學(xué)校中抽取一個(gè)容量為100的樣本,從高一學(xué)生中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽取樣本時(shí),學(xué)生甲被抽到的概率為 ,則該學(xué)校學(xué)生的總數(shù)為( )
A.200
B.400
C.500
D.1000
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某手機(jī)賣(mài)場(chǎng)對(duì)市民進(jìn)行國(guó)產(chǎn)手機(jī)認(rèn)可度的調(diào)查,隨機(jī)抽取100名市民,按年齡(單位:歲)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖如下:
分組(歲) | 頻數(shù) |
[25,30) | x |
[30,35) | y |
[35,40) | 35 |
[40,45) | 30 |
[45,50] | 10 |
合計(jì) | 100 |
(Ⅰ)求頻率分布表中x、y的值,并補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(Ⅱ)在抽取的這100名市民中,按年齡進(jìn)行分層抽樣,抽取20人參加國(guó)產(chǎn)手機(jī)用戶體驗(yàn)問(wèn)卷調(diào)查,現(xiàn)從這20人重隨機(jī)抽取2人各贈(zèng)送精美禮品一份,設(shè)這2名市民中年齡在[35,40)內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) . (Ⅰ)證明:f(x)≥5;
(Ⅱ)若f(1)<6成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn),連接AF1 , BF1 . 若|AB|=|BF1|,且∠ABF1=90°,則雙曲線的離心率為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}中,已知a3=5,且a1 , a2 , a5為遞增的等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式 (k∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題:“今有器中米,不知其數(shù),前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.問(wèn),米幾何?”如圖是解決該問(wèn)題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸出的S=1.5(單位:升),則輸入k的值為( )
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣(mài)不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.
(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式.
(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得如表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
(i)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花,X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求X的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;
(ii)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a≠0).
(1)試討論y=f(x)的極值;
(2)若a>0,設(shè)g(x)=x2emx , 且任意的x1 , x2∈[0,2],f(x1)﹣g(x2)≥﹣1恒成立,求m的取值范圍.
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