Question

已知函數(shù)F（x）=Acos（ωx+φ）+B（ω＞0，A＞0，|φ|＜

π

2

），一部分圖象如圖，若f（x）=F（x-

π

6

）
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）當0＜x＜1時，求證f（x）＞1-2x²；
（Ⅲ）若g（x）=sinx，問是否存在實數(shù)a和正整數(shù)n，使φ（x）=ag（x）+f（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2019個零點，若存在，求a，n值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由圖可知，A=1，B=0，

T

4

=

π

3

-

π

12

，可解得T=π，ω=2，由（

π

12

，0）在F（x）=cos（2x+φ）上，而|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

3

，即可求得f（x）=F（x-

π

6

）=cos2x，
（Ⅱ）由0＜x＜1，要證f（x）＞1-2x²，設(shè)h（x）=1-2x²-f（x）=1-2x²-cos2x，可得h′（x）=-4x+2sin2x，h″（x）=-4+4cos2x＜0，由h′（x）＜h′（0）=0，可得h（x）＜h（0）=0，即有f（x）＞1-2x²．
（Ⅲ）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），?a=-

cos2x

sinx

記為

m（x），可得m（x）=

-cos2x

sinx

=2sinx-

1

sinx

，m′（x）=2cosx+

cosx

sin2x

=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，令m′（x）=0得x=

π

2

，

3π

2

，可得m（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，（

π

2

，π）與（π，

3π

2

）上單調(diào)遞減，（

3π

2

，2π）上單調(diào)遞增，分析可知a=±1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，得n=673*2=1346，從而存在a=1，n=1346或a=-1，n=1346時，φ（x）有2019個零點．

解答： 解：（Ⅰ）由圖可知，A=1，B=0，∵

T

4

=

π

3

-

π

12

，∴可解得T=π，ω=2，
∵（

π

12

，0）在F（x）=cos（2x+φ）上，
∴

π

6

+φ=π+

π

2

，k∈Z，可解得φ=kπ+

π

3

，k∈Z，
而|φ|＜

π

2

，∴φ=

π

3

，即有F（x）=cos（2x+

π

3

）
∴f（x）=F（x-

π

6

）=cos2x，
（Ⅱ）∵0＜x＜1，要證f（x）＞1-2x²；
設(shè)h（x）=1-2x²-f（x）=1-2x²-cos2x，
∵h′（x）=-4x+2sin2x，h″（x）=-4+4cos2x＜0，
∴h′（x）＜h′（0）=0，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴f（x）＞1-2x²，
（Ⅲ）∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），
?a=-

cos2x

sinx

記為

m（x），
∵m（x）=

-cos2x

sinx

=2sinx-

1

sinx

，
m′（x）=2cosx+

cosx

sin2x

=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，
令m′（x）=0得x=

π

2

，

3π

2

，
∴m（x）在（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，（

π

2

，π）與（π，

3π

2

）上單調(diào)遞減，（

3π

2

，2π）上單調(diào)遞增，
當a＞1或a＜-1時，m（x）=a在（0，2π）有2解；
當-1＜a＜1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有4解；
∴-1＜a＜1或a＞1，a＜-1時，方程在（0，nπ）上有偶數(shù)根，不符合，
則a=±1時，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，
∴存在a=1，n=1346或a=-1，n=1346時，φ（x）有2019個零點．

點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．