【題目】已知數(shù)列,且為該數(shù)列的前項(xiàng)和.
(1)寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)計(jì)算,猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍.
【答案】(1);(2),證明見(jiàn)詳解;(3).
【解析】
(1)根據(jù)題意直接寫(xiě)出的通項(xiàng)公式;(2),由求得,同理求得.接著猜想,用數(shù)學(xué)歸納法證明,檢驗(yàn)n=1時(shí),猜想成立;假設(shè),則當(dāng)n=k+1時(shí),由條件可得當(dāng)n=k+1時(shí),也成立,從而猜想仍然成立.(3)對(duì)的表達(dá)式進(jìn)行變形化簡(jiǎn),利用求函數(shù)值域的方法即可求得.
(1)根據(jù)題意可得;
(2);
;
;
可以看到,上面表示四個(gè)結(jié)果的分?jǐn)?shù)中,分子與項(xiàng)數(shù)n一致,分母可用項(xiàng)數(shù)n表示為.于是可以猜想.
下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.
①當(dāng)時(shí),左邊,
右邊,猜想成立.
②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立,即
.
所以,當(dāng)時(shí)猜想也成立.
根據(jù)(1)和(2),可知猜想對(duì)任何都成立.
(3)由(2)知,因?yàn)?/span>,所以,
則,即,
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某課題小組共10人,已知該小組外出參加交流活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3, 4,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).
(1)記“選出2人外出參加交流活動(dòng)次數(shù)之和為4”為事件A,求事件A發(fā)生的概率;
(2)設(shè)X為選出2人參加交流活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且,圓與軸交于點(diǎn),,為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),,面積最大值為.
(1)求圓與橢圓的方程;
(2)圓的切線交橢圓于點(diǎn),,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的一段圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),如圖所示.
(1)求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得函數(shù)的圖象,求的最大值,并求出此時(shí)自變量x的集合;
(3)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求的值并判斷的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱錐中, 和是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, , 分別是的中點(diǎn).
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是(≈0.618,稱為黃金分割比例),著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26 cm,則其身高可能是
A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近年來(lái),中美貿(mào)易摩擦不斷.特別是美國(guó)對(duì)我國(guó)華為的限制.盡管美國(guó)對(duì)華為極力封鎖,百般刁難,并不斷加大對(duì)各國(guó)的施壓,拉攏他們抵制華為5G,然而這并沒(méi)有讓華為卻步.華為在2018年不僅凈利潤(rùn)創(chuàng)下記錄,海外增長(zhǎng)同樣強(qiáng)勁.今年,我國(guó)華為某一企業(yè)為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力,計(jì)劃在2020年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機(jī).通過(guò)市場(chǎng)分析,生產(chǎn)此款手機(jī)全年需投入固定成本250萬(wàn),每生產(chǎn)(千部)手機(jī),需另投入成本萬(wàn)元,且 ,由市場(chǎng)調(diào)研知,每部手機(jī)售價(jià)0.7萬(wàn)元,且全年內(nèi)生產(chǎn)的手機(jī)當(dāng)年能全部銷售完.
()求出2020年的利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量(千部)的函數(shù)關(guān)系式,(利潤(rùn)=銷售額—成本);
2020年產(chǎn)量為多少(千部)時(shí),企業(yè)所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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