Question

設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=2^|x-a|在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；命題q：a∈{y|y=

16-4x

，x∈R}，如果“p且q”是假命題，“p或q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)f（x）=2^|x-a|在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增的實(shí)數(shù)a的取值范圍，求出其補(bǔ)集；再結(jié)合命題q為真時(shí)，求出a的范圍，最后結(jié)合復(fù)合命題的真假分情況討論后即可得到結(jié)論．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=2^|x-a|的外函數(shù)y=2^u在其定義域R上為增函數(shù)
若函數(shù)f（x）=2^|x-a|在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增
則內(nèi)函數(shù)u=|x-a|在區(qū)間（1，+∞）也要為增函數(shù)
又∵u=|x-a|在區(qū)間[a，+∞）為增函數(shù)
∴（1，+∞）?[a，+∞）
即a≤1；
故若p為假命題時(shí)，a＞1；
命題q：a∈{y|y=

16-4x

，x∈R}，4^x＞0⇒16-4^x＜16⇒y=

16-4x

∈[0，4）．
∴a∈[0，4）．
q假時(shí)，a∈（-∞，0）∪[4，+∞）．
∵“p且q”是假命題，“p或q”是真命題
∴①p真q假，②p假q真；
當(dāng)p真q假時(shí)⇒

a≤1 a≥4或a＜0

⇒a＜0；
當(dāng)p假q真時(shí)，

a＞1 0≤a＜4

⇒1＜a≤4．
綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（-∞，0）∪（1，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的真假以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定和指數(shù)函數(shù)值域的相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵是把兩個(gè)命題等價(jià)轉(zhuǎn)化．