【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為 ,離心率為 ,左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn)P是右準(zhǔn)線上任意一點(diǎn),過(guò)F2作直線PF2的垂線F2Q交橢圓于Q點(diǎn).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)證明:直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值;
(3)證明:直線PQ與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn).

【答案】
(1)解:由題意可得 ,解得 ,c=1,

所以橢圓E:


(2)解:由(1)可知:橢圓的右準(zhǔn)線方程為 ,

設(shè)P(3,y0),Q(x1,y1),

因?yàn)镻F2⊥F2Q,所以

所以﹣y1y0=2(x1﹣1)

又因?yàn)? 代入化簡(jiǎn)得

即直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值


(3)解:由(2)知,

∴直線PQ的方程為 ,即

聯(lián)立

,

∴化簡(jiǎn)得: ,又△=0,

解得x=x1,所以直線PQ與橢圓C相切,只有一個(gè)交點(diǎn)


【解析】(1)由題意可得 ,解出即可;(2)由(1)可知:橢圓的右準(zhǔn)線方程為 ,設(shè)P(3,y0),Q(x1 , y1),由PF2⊥F2Q,可得 ,利用斜率計(jì)算公式可得kPQkOQ 代入化簡(jiǎn)得直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值.(3)由(2)知,直線PQ的方程為 ,即 ,與橢圓的方程聯(lián)立,消去一個(gè)未知數(shù)得到關(guān)于x的一元二次方程,只要證明△=0即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線的斜率和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα;橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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