【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠BAC=90°,AB=AC=1,AA1=3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在棱BB1 , CC1上,且C1F= C1C,BE=λBB1 , 0<λ<1.
(1)當(dāng)λ= 時(shí),求異面直線AE與A1F所成角的大。
(2)當(dāng)直線AA1與平面AEF所成角的正弦值為 時(shí),求λ的值.
【答案】
(1)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.
因?yàn)锳B=AC=1,AA1=3, ,
所以各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0),E(1,0,1),A1(0,0,3),
F(0,1,2). , .因?yàn)? , ,
所以 .所以向量 和 所成的角為120°,
所以異面直線AE與A1F所成角為60°.
(2)解:因?yàn)镋(1,0,3λ),F(xiàn)(0,1,2),所以 .
設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),
則 ,且 .
即x+3λz=0,且y+2z=0.令z=1,則x=﹣3λ,y=﹣2.
所以 =(﹣3λ,﹣2,1)是平面AEF的一個(gè)法向量.
又 ,則 ,
又因?yàn)橹本AA1與平面AEF所成角的正弦值為 ,
所以 = ,解得,
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz.(1)推出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出向量 和 對(duì)應(yīng)的向量,利用向量的數(shù)量積求出夾角即可.(2)求出平面AEF的法向量, ,利用向量的數(shù)量積求解直線AA1與平面AEF所成角的正弦值為 ,得到 .
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí),掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系,以及對(duì)空間角的異面直線所成的角的理解,了解已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則.
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A.正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的
B.正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的
C.正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的
D.正四面體的內(nèi)切球的半徑是高的
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(2)求事件“x2+y2>1”的概率.
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(1)計(jì)算a2 , a3 , a4的值,由此猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)求證:2nn≤a <3nn .
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【題目】在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1= (n=1,2,3,…),
(1)計(jì)算a1 , a2 , a3 , a4;
(2)猜想an的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.
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