已知向量
a
=（cosx，sinx），|
b
|=1，且a與b滿足|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|（k＞0）．
（1）試用k表示
a
•
b
，并求
a
•
b
的最小值；
（2）若0≤x≤π，
b
=（
1
2
，
3
2
），求
a
•
b
的最大值及相應的x值．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算
專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應用
分析：（1）利用已知條件，通過模的求法，即可用k表示
a
•
b
，利用基本不等式求
a
•
b
的最小值；
（2）若0≤x≤π，
b
=（
1
2
，
3
2
），利用
a
•
b
以及三角函數(shù)化簡為正弦函數(shù)的形式，通過位置的范圍求出函數(shù)的最大值及相應的x值．
解答： 解（1）∵|
a
|=1，|
b
|=1，
由|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，
得（k
a
+
b
）2=3（
a
-k
b
）2，
整理得
a
•
b
=
k2+1
4k
=
1
4
(k+
1
k
)≥
1
2
，
當且僅當k=1時，
a
•
b
取最小值
1
2
．
（2）由
a
•
b
=
1
2
cosx+
3
2
sinx=sin（x+
π
6
）．
∵0≤x≤π，∴
π
6
≤x+
π
6
≤
7π
6
，
∴-
1
2
≤sin（x+
π
6
）≤1．當x=
π
3
時，
a
•
b
取最大值為1．
點評：本題考查向量的模以及數(shù)量積的運算，兩角和與差的三角函數(shù)以及三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一枚均勻硬幣連擲兩次，只有一次出現(xiàn)正面的概率是（　�。�
A、
1
2
B、
2
3
C、
1
3
D、
1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在一個紅綠燈路口，紅燈、黃燈和綠燈的時間分別為30秒、5秒和40秒．當你到達路口時．
（1）求紅燈的概率．
（2）求不是綠燈的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱長為3，AB⊥BC，且AB=BC=3，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF，
（Ⅰ）求證A′F⊥C′E；
（Ⅱ）當三棱錐B′-EBF的體積取得最大值時，求二面角B′-EF-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+1，圓C：（x-1）2+（y+1）2=9．
（1）試證明：不論k為何實數(shù)，直線l和圓C總有兩個交點；
（2）當k取何值時，直線l被圓C截得的弦長最短，并求出最短弦的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c
（Ⅰ） 若BC邊上的中點為M，且AM=ma，求證：ma=
1
2
2(b2+c2)-a2
；
（Ⅱ） 若△ABC是銳角三角形，且a=2bsinA．求u=cosA+sinC的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，∠B=
π
3
．
（Ⅰ）求sinA+sinC的取值范圍；
（Ⅱ）若∠A為銳角，求f（A）=sinA+cosA+2sinAcosA的最大值并求出此時角A的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-
1
2
x2-2x，當x∈[-1，2]時，f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+
1
x
，g（x）=x2+x-b．y=f（x）圖象恒過定點P，且P點既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導函數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=
f(x)
g(x)
，求證：當x＞0且x≠1時，h（x）＜0；
（Ⅲ）求證：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞lnn+
n+1
2n
（n≥2且n∈N*）．

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