Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+

1

x

，g（x）=x²+x-b．y=f（x）圖象恒過定點P，且P點既在y=g（x）圖象上，又在y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設(shè)h（x）=

f(x)

g(x)

，求證：當(dāng)x＞0且x≠1時，h（x）＜0；
（Ⅲ）求證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞lnn+

n+1

2n

（n≥2且n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）恒過（1，0），從而p（1，0），g（1）=0，進(jìn)而求出b=2；再通過求導(dǎo)得出a=2；
（Ⅱ）證h(x)=

f(x)

g(x)

＜0，即證x＞0且x≠1時，f（x），g（x）異號，討論當(dāng)x＞1時，當(dāng)0＜x＜1時的情況，綜上得證；
（Ⅲ）令x=

n

n-1

（n≥2），得出2ln

2

1

＜

1

2

+12ln

3

2

＜

1

3

+

1

2

…2ln

n

n-1

＜

1

n

+

1

n-1

，從而1+

1

2

+…+

1

n

＞lnn+

n+1

2n

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=aInx-x+

1

x

，
∴f（x）恒過（1，0），
∴p（1，0），g（1）=0，
∴b=2；
∵f′(x)=

a

x

-1-

1

x2

，f'（1）=0，
∴a=2，即a=2，b=2．
（Ⅱ）證：h(x)=

f(x)

g(x)

＜0，
即證x＞0且x≠1時，f（x），g（x）異號
∵g（x）=x²+x-2=（x-1）（x+2）
∴當(dāng)x＞1時，g（x）＞0
∵f′(x)=

2

x

-1-

1

x2

=

-(x-1)2

x2

＜0
∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，又f（1）=0
∴f（x）＜f（1）=0，
∴h(x)=

f(x)

g(x)

＜0
∵當(dāng)0＜x＜1時，g（x）＜0
∴f′(x)=

2

x

-1-

1

x2

=

-(x-1)2

x2

＜0
∴f（x）＞f（1）=0，
∴h(x)=

f(x)

g(x)

＜0
綜上得證．
（Ⅲ）∵2lnx＜x-

1

x

令x=

n

n-1

（n≥2），
∴2ln

n

n-1

＜

n

n-1

-

n-1

n

=

1

n

+

1

n-1

，
∴2ln

2

1

＜

1

2

+12ln

3

2

＜

1

3

+

1

2

…2ln

n

n-1

＜

1

n

+

1

n-1

∴2lnn＜2(1+

1

2

+…+

1

n

)-1-

1

n

，
∴1+

1

2

+…+

1

n

＞lnn+

n+1

2n

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．