Question

已知點、，動點滿足：，且
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點.

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析.

試題分析：（1）針對點的位置：點在線段上、點在軸上且在線段外、點不在軸上進(jìn)行分類確定點的軌跡，前兩種只須簡單的檢驗即可，當(dāng)點不在軸上時，在中，應(yīng)用余弦定理得，化簡得到，再根據(jù)圓錐曲線的定義，可知動點在以為兩焦點的橢圓上，由橢圓的相關(guān)參數(shù)即可寫出橢圓的方程，最后綜合各種情況寫出所求軌跡的方程；（2）先驗證直線斜率不存在與斜率為0的情形，然后再證明直線斜率存在且不為0的情況，此時先設(shè)直線，設(shè)點，聯(lián)立直線與軌跡的方程，消去得到，進(jìn)而求出及，得到，利用直線與圓相切得到，代入式子中，即可得到，從而問題得證.
試題解析：（1）①當(dāng)點在線段上時
不存在或，均不滿足題目條件                      1分
②當(dāng)點在軸上且在線段外時，
，設(shè)
由可得∴∴      3分
③當(dāng)點不在軸上時，
在中，由余弦定理得


，即動點在以為兩焦點的橢圓上
方程為：（）
綜和①②③可知：動點的軌跡的方程為：              6分
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時
∵直線與圓相切，故切線方程為或
切線方程與聯(lián)立方程組
可求得為或為
則以為直徑的圓的方程為，經(jīng)過坐標(biāo)原點
②當(dāng)直線的斜率為零時
與①類似，
可求得以為直徑的圓的方程為，經(jīng)過坐標(biāo)原點          10分
③當(dāng)直線的斜率存在且不為零時設(shè)直線的方程為
由消去得
設(shè)，則
∴
∴①
∵直線和圓相切
∴圓心到直線的距離，整理得②
將②式代入①式，得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點
綜上可知，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點                  14分.