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如圖，橢圓的離心率為，軸被曲線截得的線段長等于的短軸長。與軸的交點為，過坐標原點的直線與相交于點，直線分別與相交于點。

（1）求、的方程；
（2）求證：。
（3）記的面積分別為，若，求的取值范圍。
（1）；（2）見解析；（3） .

試題分析：（1）利用橢圓的幾何性質，建立的方程組即得；
（2）通過設直線并聯立 應用韋達定理及平面向量的坐標運算證得，從而得到 ；
（3）通過設直線，聯立方程組，；
聯立，
利用三角形面積公式分別計算,用表示，從而得到.
試題解析：
（1）              （1分）
又，得           （2分）
（2）設直線則  （3分）
=0
                        （5分）
（3）設直線
，同理可得 
            （8分）

同理可得
               （2分）
              （13分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的倍，其上一點到右焦點的最短距離為
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線交橢圓于兩點，當時求直線的方程

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

橢圓的離心率為，且過點直線與橢圓M交于A、C兩點，直線與橢圓M交于B、D兩點，四邊形ABCD是平行四邊形
（1）求橢圓M的方程；
（2）求證：平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于原點O；
（3）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點、，動點滿足：，且
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）已知圓W： 的切線與軌跡相交于P，Q兩點，求證：以PQ為直徑的圓經過坐標原點.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設橢圓的方程為 ，斜率為1的直線不經過原點，而且與橢圓相交于兩點，為線段的中點.
（1）問：直線與能否垂直？若能，之間滿足什么關系；若不能，說明理由；
（2）已知為的中點，且點在橢圓上.若，求橢圓的離心率.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，一條準線l：x＝2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設O為坐標原點，M是l上的點，F為橢圓C的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓D交于P，Q兩點．
①若PQ＝，求圓D的方程；
②若M是l上的動點，求證點P在定圓上，并求該定圓的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的焦點坐標為F1(－1,0)，F2(1,0)，過F2垂直于長軸的直線交橢圓于P，Q兩點，且|PQ|＝3.
(1)求橢圓的方程；
(2)過F2的直線l與橢圓交于不同的兩點M，N，則△F1MN的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓，過橢圓上一點作傾斜角互補的兩條直線、，分別交橢圓于、兩點.則直線的斜率為          .

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知直線交拋物線于兩點.若該拋物線上存在點，使得，則的取值范圍為_________.

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