Question

【題目】如圖，某濕地公園的鳥瞰圖是一個直角梯形，其中：，，，長1千米，長千米，公園內(nèi)有一個形狀是扇形的天然湖泊，扇形以長為半徑，弧為湖岸，其余部分為灘地，B，D點(diǎn)是公園的進(jìn)出口.公園管理方計劃在進(jìn)出口之間建造一條觀光步行道：線段線段弧，其中Q在線段上（異于線段端點(diǎn)），與弧相切于P點(diǎn)（異于弧端點(diǎn)］根據(jù)市場行情，段的建造費(fèi)用是每千米10萬元，湖岸段弧的建造費(fèi)用是每千米萬元（步行道的寬度不計），設(shè)為弧度觀光步行道的建造費(fèi)用為萬元.

（1）求步行道的建造費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求其走義域；

（2）當(dāng)為何值時，步行道的建造費(fèi)用最低？

Answer 1

【答案】（1），定義域：；（2）當(dāng)時，步行道的建造費(fèi)用最低.

【解析】

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，可得所在圓的方程為，可得，從而求得所在直線方程，與所在直線方程聯(lián)立求得坐標(biāo)，即可得到與，再由弧長公式求的長，再根據(jù)與相切于點(diǎn)（異于弧端點(diǎn)）與，即可求得函數(shù)關(guān)系式與其定義域；

（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求使步行道的建造費(fèi)用最低時的值．

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則所在圓的方程為，，，直線：.

∵直線的方程為

∴.

所以，，弧長，

所以，化簡得.

∵與相切于點(diǎn)（異于弧端點(diǎn)），

∴定義域：.

（2）令，求導(dǎo)得，令，

（舍去），，，

		0
		極小值

所以當(dāng)時，最小，即w最小，當(dāng)時，步行道的建造費(fèi)用最低.