Question

【題目】已知雙曲線 的右焦點為F(c,0)．
（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
（2）以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A ， 過A作圓的切線，斜率為 ，求雙曲線的離心率．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】∵雙曲線的漸近線為y＝± x，∴a＝b.

∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4.

∴a2＝b2＝2.

∴雙曲線方程為

（2）

【解答】設點A的坐標為(x0，y0)，

∴直線AO的斜率滿足 ·(－ )＝－1.

∴x0＝ y0.①

依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，

將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，即y0＝ c，

∴x0＝c.

∴點A的坐標為（）.

代入雙曲線方程得

即 b2c2－ a2c2＝a2b2，②

又∵a2＋b2＝c2，

∴將b2＝c2－a2代入②式，整理得

c4－2a2c2＋a4＝0，

∴，

∴(3e2－2)(e2－2)＝0，

∵e＞1，∴e＝ ，∴雙曲線的離心率為 .

【解析】(1)根據雙曲線的一條漸近線方程為y＝x ， 雙曲線的漸近線為y＝± x ， 所以a＝b.求解即可；（2）因為是以原點O為圓心，c為半徑作圓，可得圓的方程為x2＋y2＝c2 ， 該圓與雙曲線在第一象限的交點為A ， 過A作圓的切線，斜率為－ ，可設點A的坐標為(x0 ， y0)，直線AO的斜率滿足 ·(－ )＝－1.代入圓的方程，化簡即可。