Question

如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PD⊥AD，PD⊥DC，PD=3，AD=2，若M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DC；
（2）求點(diǎn)M到平面PAC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用MN，DC對應(yīng)的向量的數(shù)量積為0，證明兩條直線垂直；
（2）求出平面PAC的法向量，求出

MA

，然后利用向量在平面單位法向量方向投影長度，求解求點(diǎn)M到平面PAC的距離．

解答： （本小題滿分13分）
解：如圖建系，則D（0，0，0），
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，3），則M(2，1，0)，N(0，1，

3

2

)．
（1）∴

MN

=(-2，0，

3

2

)，

DC

=(0，2，0)∴

MN

•

DC

=(-2，0，

3

2

)•(0，2，0)=0，∴MN⊥DC．
（2）設(shè)

n

=(x，y，z)為平面PAC的一個(gè)法向量，

PA

=(2，0，-3)，

PC

=(0，2，-3)，
由

PA • n =0 PC • n =0

，得

2x-3y=0 2y-3z=0

取x=3，則y=3，z=2，

n

=(3，3，2)，

MA

=(-1，0，0)
∴d=

| n • MA |

| n |

=

3

22

=

3 22

22

，
∴點(diǎn)M到平面PAC的距離為

3 22

22

．

點(diǎn)評：本題考查向量方法求解點(diǎn)到平面的距離以及向量的數(shù)量積判斷直線與直線的垂直，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．