如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠BAD=
π
3
，AB=2，AD=1，點E、F分別是邊AD、DC上的動點，且
|
CF|
|
CD|
=
|
DE|
|
DA|
=t，BE與AC交于G點．
（1）若t=
1
2
，試用向量
AB
，
AD
表示向量
AG
；
（2）求
BG
•
BF
的取值范圍．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：計算題,平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由點E、G、B三點共線，得
AG
=m
AE
+(1-m)
AB
=
1
2
m
AD
+（1-m）
AB
，又點G在AC上，則
AG
=n
AC
，即
AG
=n(
AD
+
AB
)，由平面向量基本定理可得關(guān)于m、n的方程組，解出后可得結(jié)論；
（2）同（1）可用平面向量基本定理表示出
AG
，進而可得
BG
、
BF
，從而可把
BG
•
BF
表示為t的函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的最值，于是得到答案；
解答： 解：（1）若t=
1
2
，則
CF
=
1
2
CD
，
DE
=
1
2
DA
，
∵點E、G、B三點共線，
∴
AG
=m
AE
+(1-m)
AB
=
1
2
m
AD
+（1-m）
AB
，
設(shè)
AG
=n
AC
，則
AG
=n(
AD
+
AB
)，
∴
1
2
m
AD
+（1-m）
AB
=n(
AD
+
AB
)，則
1
2
m=n
1-m=n
，
解得m=
2
3
，n=
1
3
，
∴
AG
=
1
3
(
AD
+
AB
)；
（2）
AG
=m
AE
+(1-m)
AB
=m（1-t）
AD
+（1-m）
AB
，
設(shè)
AG
=n
AC
，則
AG
=n(
AD
+
AB
)，
則
m(1-t)=n
1-m=n
，得n=
1-t
2-t
，
∴
AG
=
1-t
2-t
(
AD
+
AB
)，
則
BG
=
AG
-
AB
=
1-t
2-t
（
AD
+
AB
）-
AB
=
1-t
2-t
AD
-
1
2-t
AB
，
BF
=
BC
+
CF
=
AD
-t
AB
，
而
AB
•
AD
=|
AB
||
AD
|cos∠BAD=2×1×cos
π
3
=1，
∴
BG
•
BF
=（
1-t
2-t
AD
-
1
2-t
AB
）•（
AD
-t
AB
）=
1-t
2-t
+
4t
2-t
-
t(1-t)
2-t
-
1
2-t
=
t2+2t
2-t
，
令y=
t2+2t
2-t
（0≤t≤1），
y'=
-(t-2)2+8
(2-t)2
＞0，
∴y=
t2+2t
2-t
在t∈[0，1]上遞增，
t=0時ymin=0，t=1時ymax=3，
∴
BG
•
BF
的取值范圍為[0，3]．
點評：本題考查平面向量數(shù)量積的運算、平面向量基本定理、三點共線的條件等知識，考查函數(shù)思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析解決問題的能力．
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π
2
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2
3
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5
5
，且α是第一象限角．
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sin(
3π
2
-α)
cos(π-α)
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AD
•
AB
=
1
3
|
AB
|2
（Ⅰ）求∠BAD的大�。�
（Ⅱ）若E為BC邊上的中點，F(xiàn)為平行四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，求
AE
•
AF
的最大值．

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