Question

已知橢圓x²+

y2

4

=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B．雙曲線C的方程為x²-

y2

4

=1．設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T．
（Ⅰ）設(shè)P，T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，證明x₁•x₂=1；
（Ⅱ）設(shè)△TAB與△POB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積分別為S₁與S₂，且

PA

•

PB

≤15，求S

2 1

-S

2 2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立，確定P、T的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論；
（Ⅱ）利用

PA

•

PB

≤15，結(jié)合點(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，可得1＜x₁≤2，利用三角形的面積公式求面積，從而可得S

2 1

-S

2 2

的不等式，利用換元法，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可求S

2 1

-S

2 2

的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），直線AP的斜率為k（k＞0），
則直線AP的方程為y=k（x+1），
代入橢圓方程，消去y，整理，得（4+k²）x²+2k²x+k²-4=0，
解得x=-1或x=

4-k2

4+k2

，故x₂=

4-k2

4+k2

．
同理可得x₁=

4+k2

4-k2

．
所以x₁•x₂=1．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）（x_i＞0，y_i＞0，i=1，2），
則

PA

=（-1-x₁，y₁），

PB

=（1-x₁，y₁）．
因?yàn)?span id="ijouo69" class="MathJye">

PA

•

PB

≤15，所以（-1-x₁）（1-x₁）+y₁²≤15，即x₁²+y₁²≤16．
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，所以x12-

y12

4

=1，所以x₁²+4x₁²-4≤16，即x₁²≤4．
因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以1＜x₁≤2．
因?yàn)镾₁=|y₂|，S₂=

1

2

|y1|，
所以S

2 1

-S

2 2

=y22-

1

4

y12=5-x12-4x22
由（Ⅰ）知，x₁•x₂=1，即x2=

1

x1

．
設(shè)t=x12，則1＜t≤4，S

2 1

-S

2 2

=5-t-

4

t

．
設(shè)f（t）=5-t-

4

t

，則f′（t）=-1+

4

t2

=

(2-t)(2+t)

t2

，
當(dāng)1＜t＜2時(shí)，f'（t）＞0，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，f'（t）＜0，
所以函數(shù)f（t）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，4]上單調(diào)遞減．
因?yàn)閒（2）=1，f（1）=f（4）=0，
所以當(dāng)t=4，即x₁=2時(shí)，S

2 1

-S

2 2

的最小值為f（4）=0，當(dāng)t=2，即x₁=

2

時(shí)，S

2 1

-S

2 2

的最大值為f（2）=1．
所以S

2 1

-S

2 2

的取值范圍為[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓與雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、函數(shù)最值等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力．