Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

x2-1

，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間并就其中一種情況加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)分式函數(shù)成立的條件和性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的定義域、值域；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

x2-1

，
∴x²-1≠0，即x≠±1，即函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}．
則f（x）≠0，即f（x）值域為{x|x≠0}；
（2）∵函數(shù)的定義域為{x|x≠±1}．
∴定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（-x）=

1

x2-1

=f（x），
∴函數(shù)f（x）的是偶函數(shù)；
（3）設(shè)t=x²-1，則y=

1

t

，
∵當(dāng)x＞1時，函數(shù)t=x²-1單調(diào)遞增，此時y=

1

t

單調(diào)遞減，∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1時，函數(shù)t=x²-1單調(diào)遞增，此時y=

1

t

單調(diào)遞減，∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＜-1時，函數(shù)t=x²-1單調(diào)遞減，此時y=

1

t

單調(diào)遞減，∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)-1＜x≤0時，函數(shù)t=x²-1單調(diào)遞減，此時y=

1

t

單調(diào)遞減，∴此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
綜上函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1）和（-1，0]，
遞減區(qū)間為（1，+∞）和（0，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查分式函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．