【題目】已知函數(shù).
(1)求證:方程有實(shí)根;
(2)在上是單調(diào)遞減函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),關(guān)于的不等式的解集為空集,求所有滿足條件的實(shí)數(shù)的值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3).
【解析】分析:(1)要證的實(shí)根,設(shè),也就是證明方程有非負(fù)實(shí)數(shù)根,而,故可設(shè)的兩根為,利用根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系,即可求解;
(2)由題設(shè)值對(duì)任意的時(shí),恒成立,對(duì)分類討論,對(duì)任意的,集合函數(shù)的單調(diào)性即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)由題意知,當(dāng)時(shí),恒成立,記,對(duì)分類:若,則,從而求出滿足條件的實(shí)數(shù)的值.
詳解:(1)要證x4-2ax2-1=0有實(shí)根,也就是證明方程t2-2at-1=0有非負(fù)實(shí)數(shù)根.
而Δ=4a2+4>0,故可設(shè)t2-2at-1=0的兩根為t1、t2.
t1t2=-1<0,∴t1、t2一正一負(fù).
∵方程t2-2at-1=0有正根,
∴方程f(x)=1有實(shí)根.
(2)由題設(shè)知對(duì)任意的x∈[0,1],
h′(x)=f ′(x)-1=4x3-4ax-1≤0恒成立,x=0時(shí)顯然成立;
對(duì)任意的0<x≤1,a≥x2-,∴a≥(x2-)max,
而g(x)=x2-在(0,1]上單調(diào)遞增,∴a≥g(1)=,∴a的取值范圍為[,+∞).
(3)由題設(shè)知,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),|4x3-4ax|≤1恒成立.記F(x)=4x3-4ax,
方法1:若a≤0,則F(1)=4-4a≥4,不滿足條件;
故a>0,而
①當(dāng)<1即0<a<3時(shí),F(xiàn)(x)在[0,]上遞減,在[,1]上遞增,
于是,解得a=.
②當(dāng)≥1,即a≥3時(shí),F(xiàn)(x)在[0,1]上遞減,于是|F(x)|max=-F(1)=4a-4≥8,
與題意矛盾.
綜上所述a=.
方法2:(分離參數(shù)法)因?yàn)閨4x3-4ax|≤1,所以-1≤4x3-4ax≤1,x=0時(shí)顯然成立;
對(duì)任意的
由(2)知且時(shí)取等號(hào)),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2019·朝鮮中學(xué)]在如圖所示的程序框圖中,有這樣一個(gè)執(zhí)行框,其中的函數(shù)關(guān)系式為,程序框圖中的為函數(shù)的定義域.
(1)若輸入,請(qǐng)寫(xiě)出輸出的所有的值;
(2)若輸出的所有都相等,試求輸入的初始值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量(單位:千克)與銷售價(jià)格(單位:元/千克)滿足關(guān)系式,其中,為常數(shù).已知銷售價(jià)格為7元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若該商品的成本為5元/千克,試確定銷售價(jià)格的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示:(其中M,N分別是AF,BC的中點(diǎn)).
(1)求證:MN∥平面CDEF;
(2)求多面體A﹣CDEF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校600名文科學(xué)生參加了4月25日的三調(diào)考試,學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生的數(shù)學(xué)、外語(yǔ)情況,利用隨機(jī)數(shù)表法從抽取100名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,將學(xué)生編號(hào)為000,001,002,…599
12 56 85 99 26 96 96 68 27 31 05 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 64 38 54 82 46 22 31 62 43 09 90 06 18 44 32 53 23 83 01 30 30
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
(1)若從第6行第7列的數(shù)開(kāi)始右讀,請(qǐng)你一次寫(xiě)出最先抽出的5個(gè)人的編號(hào)(上面是摘自隨機(jī)數(shù)表的第4行到第7行);
(2)抽出的100名學(xué)生的數(shù)學(xué)、外語(yǔ)成績(jī)?nèi)缦卤恚?/span>
外語(yǔ) | ||||
優(yōu) | 良 | 及格 | ||
數(shù)學(xué) | 優(yōu) | 8 | m | 9 |
良 | 9 | n | 11 | |
及格 | 8 | 9 | 11 |
若數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率為35%,求m,n的值;
(3)在外語(yǔ)成績(jī)?yōu)榱嫉膶W(xué)生中,已知m≥12,n≥10,求數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)比良的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f (x)=a lnx++x (a≠0).
(1)若曲線y=f (x)在點(diǎn)(1,f (1))處的切線與直線x-2y=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)討論函數(shù)f (x)的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(a∈R)是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷并證明f(x)在R上的單調(diào)性.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線:上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離是.
(1)求的方程.
(2)過(guò)點(diǎn)作圓:的兩條切線,分別交于兩點(diǎn),若直線的斜率是,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣ |+|x+ |,M為不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|<|1+ab|.
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