Question

在極坐標系中，動點P（ρ，θ）運動時，ρ與sin^2（

θ

2

+

π

4

）成反比，動點P的軌跡經(jīng)過點（2，0）．
（1）求動點P的軌跡的坐標方程；
（2）將（1）中極坐標方程化為直角坐標方程，并指出軌跡是何種曲線．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)ρ=

k

sin2( θ 2 + π 4 )

，把點（2，0）代入求得k的值，可得動點P的軌跡的坐標方程，化簡可得結(jié)果．
（2）由于ρ+ρsin θ=2根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ化為直角坐標方程，整理可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)ρ=

k

sin2( θ 2 + π 4 )

，把點（2，0）代入可得 2=

k

sin2(0+ π 4 )

，求得k=1，
∴動點P的軌跡的坐標方程為 ρ=

1

sin2( θ 2 + π 2 )

=

1

1+cos(θ+ π 2 ) 2

=

2

1+sinθ

．
（2）∵ρ+ρsin θ=2，∴

x2+y2

+y=2．整理得y=-

1

4

x²+1．
∴軌跡為開口向下，頂點為（0，1）的拋物線．

點評：本題主要考查求簡單曲線的極坐標方程，把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．