Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓E：（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左準(zhǔn)線l的方程為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線過橢圓E的左焦點(diǎn)，且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn).

①若，求直線的方程；

②過A作左準(zhǔn)線l的垂線，垂足為，點(diǎn)，求證：，B，G三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）①或，②證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)長(zhǎng)軸的值和準(zhǔn)線的方程，可求得，的值，結(jié)合，從而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①設(shè)，，作，根據(jù)橢圓的第二定義可得，結(jié)合，可推出，從而推出，根據(jù)，可得，分別對(duì)直線的斜率存在與不存在進(jìn)行討論，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得直線的方程；

②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，分別求出，，即可得證；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，分別求出，，結(jié)合韋達(dá)定理即可求證.

（1）由題，，，∴，

∴，橢圓方程.

（2）①設(shè)，

作，由第二定義，，而

∴，同理

∴，即，②證明見解析

設(shè)的斜率為k

1°若k不存在，即（舍）

2°若k存在，：

聯(lián)立

消去y，（*），恒成立

∴，即，∴：或

②證明1°若的斜率不存在，，，，，，

∴，B，G三點(diǎn)共線.

2°若的斜率存在，，，

要證，B，G共線.即證，即，即

即，即

由（*），

代入上式：，即顯然成立。

∴，B，G三點(diǎn)共線.

綜上所述，，B，G三點(diǎn)共線.