Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x-1在[0，+∞）上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（-$∞，\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可將問題轉化為導函數(shù)y′≤0在[0，+∞）上恒成立，即求y′_min≤0，得到關于a的不等關系，運用基本不等式求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-x³+ax²-x-1，
∴y′=-3x²+2ax-1，
∵函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x-1在[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴y′=-3x²+2ax-1≤0在[0，+∞）上恒成立，
x∈（0，+∞）可得a≤$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}$，因為$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}≥2\sqrt{\frac{3}{2}x•\frac{1}{2x}}$=$\sqrt{3}$．當且僅當x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時取等號．
所以a$≤\sqrt{3}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是：（-$∞，\sqrt{3}$]．
故答案為：（-$∞，\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了函數(shù)單調性的綜合運用，函數(shù)的單調性對應著導數(shù)的正負，若已知函數(shù)的單調性，經(jīng)常會將其轉化成恒成立問題解決．屬于中檔題．