Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x-1在[0，+∞）上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-$∞，\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)y′≤0在[0，+∞）上恒成立，即求y′_min≤0，得到關(guān)于a的不等關(guān)系，運(yùn)用基本不等式求解即可得到a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-x³+ax²-x-1，
∴y′=-3x²+2ax-1，
∵函數(shù)f（x）=-x³+ax²-x-1在[0，+∞）上是減函數(shù)，
∴y′=-3x²+2ax-1≤0在[0，+∞）上恒成立，
x∈（0，+∞）可得a≤$\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}$，因?yàn)?\frac{3}{2}x+\frac{1}{2x}≥2\sqrt{\frac{3}{2}x•\frac{1}{2x}}$=$\sqrt{3}$．當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)取等號(hào)．
所以a$≤\sqrt{3}$．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（-$∞，\sqrt{3}$]．
故答案為：（-$∞，\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的綜合運(yùn)用，函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)著導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，若已知函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常會(huì)將其轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題解決．屬于中檔題．