Question

設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，且sinAsinC=

3

4

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）設(shè)

m

=（cosA，cos2A），

n

=（-2，1），當(dāng)

m

•

n

取最小值時(shí)，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立a，b和c的關(guān)系式，利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，求得sinB的值，進(jìn)而求得B．
（Ⅱ）對(duì)向量積的表達(dá)式化簡(jiǎn)整理，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)

m

•

n

取最小值時(shí)A，進(jìn)而判斷出三角形的形狀．

解答： （Ⅰ）∵a，b，c，成等比數(shù)列，
∴b²=ac．
∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴sin²B=sinAsinC．
又∵sinAsinC=

3

4

．
∴sin²B=

3

4

．
∵sinB＞0，
∴sinB=

3

2

．
∴B=

π

3

或

2π

3

．
又∵a，b，c成等比數(shù)列，
∴b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大邊，故B=

π

3

．
（Ⅱ）∵

m

•

n

=-2cosA+cos2A=2cos2A-2cosA-1，
∴當(dāng)cosA=

1

2

時(shí)，

m

•

n

取得最小值．此時(shí)A=

π

3

，
∵B=

π

3

，
∴A=B=C=

π

3

故△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的運(yùn)用．在解三角形問(wèn)題中往往通過(guò)正弦定理和余弦定理把角和邊的問(wèn)題互化，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的突破口．