Question

（理）已知z=x+yi，x，y∈R，i是虛數(shù)單位．若復(fù)數(shù)

z

1+i

+i是實數(shù)，則|z|的最小值為（　　）

• A、0
• B、

  5

  2

• C、5
• D、

  2

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)求模

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：利用復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件可得x=y+2，再利用復(fù)數(shù)模的計算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵復(fù)數(shù)

z

1+i

+i=

(x+yi)(1-i)

(1+i)(1-i)

+i=

x+y+(y-x)i

2

+i=

x+y

2

+

y-x+2

2

i是實數(shù)，
∴

y-x+2

2

=0，得到x=y+2．
∴|z|=

x2+y2

=

(y+2)2+y2

=

2(y+1)2+2

≥

2

，當(dāng)且僅當(dāng)y=-1，x=1取等號．
∴|z|的最小值為

2

．
故選：D．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件、復(fù)數(shù)模的計算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．