Question

1．正數(shù)a、b、c滿足abc=a+b+c+2，求證：a+b+c≥4（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$+$\frac{1}{c}$）

Answer 1

分析 由柯西不等式2[a（a+1）+b（b+1）+c（c+1）]=[a（a+1）+b（b+1）+c（c+1）]（$\frac{a}{a+1}$+$\frac{b+1}$+$\frac{c}{c+1}$）≥（a+b+c）²．化簡得a²+b²+c²+2（a+b+c）≥2（bc+ca+ab）．上式兩邊都加2（bc+ca+ab），整理，即可得出結(jié)論．

解答 證明：由柯西不等式2[a（a+1）+b（b+1）+c（c+1）]=[a（a+1）+b（b+1）+c（c+1）]（$\frac{a}{a+1}$+$\frac{b+1}$+$\frac{c}{c+1}$）≥（a+b+c）²．
化簡得a²+b²+c²+2（a+b+c）≥2（bc+ca+ab）．
上式兩邊都加2（bc+ca+ab），整理得（a+b+c）（a+b+c+2）≥4（bc+ca+ab），
即（a+b+c）abc≥4（bc+ca+ab）．
兩邊同除以abc，原不等式獲證．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，考查柯西不等式，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵．