Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA=1，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在平面BCC₁B₁內(nèi)，PB=PC=

2

．求直線PA₁與平面A₁B₁C₁所成角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：以D為原點(diǎn)，AD為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PA₁與平面A₁B₁C₁所成角的大�。�

解答： 解：以D為原點(diǎn)，AD為x軸，DC為y軸，DP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
A₁（-

3

，0，1），P（0，2，0），
∴

A1P

=（

3

，2，-1），平面A₁B₁C₁的法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)直線PA₁與平面A₁B₁C₁所成角為θ，
sinθ=|cos＜

A1P

，

n

＞|=

| A1P • n |

| A1P |•| n |

=

1

3+4+1

=

2

4

．
∴直線PA₁與平面A₁B₁C₁所成角為arcsin

2

4

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．