Question

已知函數(shù)f(x)=

ax

x2+b

，在x=1處取得極值為2．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線l與f(x)=

ax

x2+b

圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由已知函數(shù)求其導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，列出關(guān)于a，b的方程即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）先由f′（x）＞0，得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1）．再根據(jù)函數(shù)f（x）在（m，2m+1）上單調(diào)遞增，列出關(guān)于m的不等關(guān)系解之即得；
（Ⅲ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和幾何意義直線l的斜率的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的最值的求法即可求得直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)=

ax

x2+b

，∴f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

．（2分）
又函數(shù)f（x）在x=1處取得極值2，
∴

f′(1)=0 f(1)=2

即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

?

a=4 b=1

∴f(x)=

4x

x2+1

．（4分）
（Ⅱ）∵f′(x)=

4(x2+1)-4x(2x)

(x2+1)2

=

4-4x2

(x2+1)2

．
由f′（x）＞0，得4-4x²＞0，即-1＜x＜1，
所以f(x)=

4x

x2+1

的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1）．（6分）
因函數(shù)f（x）在（m，2m+1）上單調(diào)遞增，則有

m≥-1 2m+1≤1 2m+1＞m

解得-1＜m≤0，
即m∈（-1，0]時(shí)，函數(shù)f（x）在（m，2m+1）上為增函數(shù)．（9分）
（Ⅲ）∵f′(x)=

4-4x2

(x2+1)2

，
∴直線l的斜率為k=f′(x0)=

4-4x02

(x02+1)2

=4[

2

(x02+1)2

-

1

x02+1

]（11分）
令

1

x02+1

=t，t∈(0，1)，則直線l的斜率k=4（2t²-t）（t∈（0，1）
∴k∈[-

1

2

，4]，即直線l的斜率k的取值范圍是[-

1

2

，4]（14分）
[或者由k=f（x₀）轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₀²的方程，根據(jù)該方程有非負(fù)根求解]．

點(diǎn)評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)解析式的求解及常用方法、直線的斜率等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．