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【題目】已知函數.

（1）設，求函數的單調區(qū)間；

（2）若函數在其定義域內有兩個零點，求實數的取值范圍.

【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間.（2）

【解析】

(1)對函數f(x)求導，然后構造函數，通過判斷F(x)的單調性和最值即可得到函數f(x)的單調性；（2）“函數在其定義域內有兩個零點”可以轉化為函數與函數的圖像在上有兩個不同的交點，利用導數的幾何意義求解即可得到答案.

（1）

函數的定義域為，

令，則

令，得；令，得

所以函數在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.

所以

所以對任意恒成立，

所以的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間.

（2）（法一）：的定義域為，

所以“函數在其定義域內有兩個零點”等價于“方程在區(qū)間內有兩個不同的實數根”即方程在區(qū)間內有兩個不同的實數根

故上述問題可以轉化為函數與函數的圖像在上有兩個不同的交點，如圖

若令過原點且與函數圖像相切的直線斜率為，由圖可得

令切點

由，得，所以

又，所以，解得：

于是，所以

故實數的取值范圍是

（法二）的定義域為，

，

當時，，

所以在單調遞增，所以在不會有兩個零點，不合題意，

當時，令，得，

在上，，在上單調遞增，

在上，，在上單調遞減，

所以，

又時，，

時，，

要使有兩個零點，則有

即

所以

所以，即實數的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知函數，，給出如下四個命題：

①的單調遞增區(qū)間為；

②時，的極小值點為；

③時，在上存在唯一零點；

④若在（為自然對數的底數）上的最小值為3，則．

其中的真命題有______．（填上你認為所有正確的結論序號

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【題目】已知以為周期的函數，若方程恰有五個實數解，則的取值范圍為______．

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，且.


（1）過作截面與線段交于點H，使得平面，試確定點H的位置，并給出證明；

（2）在（1）的條件下，若二面角的大小為，試求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】在某親子游戲結束時有一項抽獎活動，抽獎規(guī)則是：盒子里面共有4個小球，小球上分別寫有0，1，2，3的數字，小球除數字外其他完全相同，每對親子中，家長先從盒子中取出一個小球，記下數字后將小球放回，孩子再從盒子中取出一個小球，記下小球上數字將小球放回．抽獎活動的獎勵規(guī)則是：①若取出的兩個小球上數字之積大于4，則獎勵飛機玩具一個；②若取出的兩個小球上數字之積在區(qū)間上，則獎勵汽車玩具一個；③若取出的兩個小球上數字之積小于1，則獎勵飲料一瓶．

（1）求每對親子獲得飛機玩具的概率；

（2）試比較每對親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率，哪個更大？請說明理由．

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【題目】大型綜藝節(jié)目《最強大腦》中，有一個游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方，盲擰在外人看來很神奇，其實原理是十分簡單的，要學會盲擰也是很容易的.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了名魔方愛好者進行調查，得到的情況如表所示：

用時（秒）

男性人數

15

22

14

9

女性人數

5

11

17

7

附：，.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

（1）將用時低于秒的稱為“熟練盲擰者”，不低于秒的稱為“非熟練盲擰者”.請根據調查數據完成以下列聯表，并判斷是否有的把握認為是否為“熟練盲擰者”與性別有關？

熟練盲擰者

非熟練盲擰者

男性

女性

（2）以這名盲擰魔方愛好者的用時不超過秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者的用時不超過秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過秒相互獨立.那么在該興趣小組在全市范圍內再次隨機抽取名愛好者進行測試，其中用時不超過秒的人數最有可能（即概率最大）是多少？

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【題目】如圖，有一塊半徑為20米，圓心角的扇形展示臺，展示臺分成了四個區(qū)域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展依次在這四個區(qū)域擺放：泥金香、紫龍臥雪、朱砂紅霜、朱砂紅霜.預計這三種菊花展示帶來的日效益分別是：泥金香50元/米，紫龍臥雪30元/米，朱砂紅霜40元/米.

（1）設，試建立日效益總量關于的函數關系式；

（2）試探求為何值時，日效益總量達到最大值.

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【題目】假設今天是4月23日，某市未來六天的空氣質量預報情況如下圖所示.該市有甲、乙、丙三人計劃在未來六天（4月24日～4月29日）內選擇一天出游，甲只選擇空氣質量為優(yōu)的一天出游，乙不選擇周一出游，丙不選擇明天出游，且甲與乙不選擇同一天出游，則這三人出游的不同方法數為________.

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【題目】某公司準備上市一款新型轎車零配件，上市之前擬在其一個下屬4S店進行連續(xù)30天的試銷.定價為1000元/件.試銷結束后統(tǒng)計得到該4S店這30天內的日銷售量（單位：件）的數據如下表：

日銷售量

40

60

80

100

頻數

9

12

6

3

（1）若該4S店試銷期間每個零件的進價為650元/件，求試銷連續(xù)30天中該零件日銷售總利潤不低于24500元的頻率；

（2）試銷結束后，這款零件正式上市，每個定價仍為1000元，但生產公司對該款零件不零售，只提供零件的整箱批發(fā)，大箱每箱有60件，批發(fā)價為550元/件；小箱每箱有45件，批發(fā)價為600元/件.該4S店決定每天批發(fā)兩箱，根據公司規(guī)定，當天沒銷售出的零件按批發(fā)價的9折轉給該公司的另一下屬4S店.假設該4店試銷后的連續(xù)30天的日銷售量（單位：件）的數據如下表：

日銷售量

50

70

90

110

頻數

5

15

8

2

（�。┰O該4S店試銷結束后連續(xù)30天每天批發(fā)兩大箱，這30天這款零件的總利潤；

（ⅱ）以總利潤作為決策依據，該4S店試銷結束后連續(xù)30天每天應該批發(fā)兩大箱還是兩小箱？

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