【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，且.


（1）過作截面與線段交于點H，使得平面，試確定點H的位置，并給出證明；

（2）在（1）的條件下，若二面角的大小為，試求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）H為線段上靠近點P的五等分點，即，證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點．證明，即可證明平面．

（2）以，為x，y軸的正方向，過點D作平面的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線與平面所成角的正弦值即可．

（1）如圖，連接交于點E，

由，易知相似于.

∴，

又平面，平面平面，

∴，

∴，即H為線段上靠近點P的五等分點，即.

（2）由，相似于，可得，

∵平面平面，且平面平面，∴平面，

∴為二面角的平面角，∵，∴，

又，∴，，

又易知，∴平面，即是平面的法向量，

如圖，以，為x，y軸的正方向，過點D作平面的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，∴，，

∴，直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，，.

（Ⅰ）若是偶函數(shù)，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圓周上有個白點,先將其中一個染為黑色(稱為第一次染色),對任何正整數(shù),第次染色后按逆時針方向間隔個點將下個點染成與原來顏色相反的顏色(稱為第次染色).

(1)對給定正整數(shù),是否存在正整數(shù),使次染色后個點均為白色？

(2)對給定正整數(shù),是否存在正整數(shù),使次染色后個點均為黑色？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，如果年返修率不超過千分之一，則其生產(chǎn)部門當(dāng)年考核優(yōu)秀，現(xiàn)獲得該公司2014-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：

年份

2014

2015

2016

2017

2018

年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）

2

4

5

6

8

該產(chǎn)品的年利潤（百萬元）

30

40

60

50

70

年返修臺數(shù)（臺）

19

58

45

71

70

注：

（1）從該公司2014-2018年的相關(guān)數(shù)據(jù)中任意選取3年的數(shù)據(jù)，求這3年中至少有2年生產(chǎn)部門考核優(yōu)秀的概率.

（2）利用上表中五年的數(shù)據(jù)求出年利潤（百萬元）關(guān)于年生產(chǎn)臺數(shù)（萬臺）的回歸直線方程是 ①.現(xiàn)該公司計劃從2019年開始轉(zhuǎn)型，并決定2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬臺，且預(yù)計2019年可獲利32（百萬元）；但生產(chǎn)部門發(fā)現(xiàn)，若用預(yù)計的2019年的數(shù)據(jù)與2014-2018年中考核優(yōu)秀年份的數(shù)據(jù)重新建立回歸方程，只有當(dāng)重新估算的，的值（精確到0.01），相對于①中，的值的誤差的絕對值都不超過時，2019年該產(chǎn)品返修率才可低于千分之一.若生產(chǎn)部門希望2019年考核優(yōu)秀，能否同意2019年只生產(chǎn)該產(chǎn)品1萬臺？請說明理由.

（參考公式：， ，，相對的誤差為.）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年3月，各行各業(yè)開始復(fù)工復(fù)產(chǎn)，生活逐步恢復(fù)常態(tài)，某物流公司承擔(dān)從甲地到乙地的蔬菜運輸業(yè)務(wù)．已知該公司統(tǒng)計了往年同期200天內(nèi)每天配送的蔬菜量X（40≤X＜200，單位：件．注：蔬菜全部用統(tǒng)一規(guī)格的包裝箱包裝），并分組統(tǒng)計得到表格如表：

蔬菜量X

[40，80）

[80，120）

[120，160）

[160，200）

天數(shù)

25

50

100

25

若將頻率視為概率，試解答如下問題：

（1）該物流公司負(fù)責(zé)人決定隨機抽出3天的數(shù)據(jù)來分析配送的蔬菜量的情況，求這3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；

（2）該物流公司擬一次性租賃一批貨車專門運營從甲地到乙地的蔬菜運輸．已知一輛貨車每天只能運營一趟，每輛貨車每趟最多可裝載40件，滿載才發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛貨車每趟可獲利2000元；若未發(fā)車，則每輛貨車每天平均虧損400元．為使該物流公司此項業(yè)務(wù)的營業(yè)利潤最大，該物流公司應(yīng)一次性租賃幾輛貨車？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)、為拋物線上的兩點，與的中點的縱坐標(biāo)為4，直線的斜率為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知點，、為拋物線（除原點外）上的不同兩點，直線、的斜率分別為，，且滿足，記拋物線在、處的切線交于點，若點、的中點的縱坐標(biāo)為8，求點的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是的十進(jìn)制寫法中最后一個非零數(shù)字．證明：0·…是無理數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】港珠澳大橋是中國建設(shè)史上里程最長，投資最多，難度最大的跨海橋梁項目，大橋建設(shè)需要許多橋梁構(gòu)件。從某企業(yè)生產(chǎn)的橋梁構(gòu)件中抽取件，測量這些橋梁構(gòu)件的質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間，，內(nèi)的頻率之比為.

（1）求這些橋梁構(gòu)件質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間內(nèi)的頻率；

（2）用分層抽樣的方法在區(qū)間內(nèi)抽取一個容量為的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任意抽取件橋梁構(gòu)件，求這件橋梁構(gòu)件都在區(qū)間內(nèi)的概率

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