Question

【題目】如圖.四棱柱的底面是直角梯形，，，，四邊形和均為正方形.

（1）證明；平面平面ABCD；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）證明平面ABCD，再利用面面垂直判定定理證明

（2）由（1）知，AB，AD兩兩互相垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建系，求出兩個半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可

（1）證明：因為四邊形和均為正方形，所以，.

又，所以平面ABCD.

因為平面，所以平面平面ABCD.

（2）（法—）由（1）知，AB，AD兩兩互相垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，

則，.

設為平面的法向量，則

令，則，，所以.

又因為平面ABCD，所以為平面ABCD的一個法向量.

所以.

因為二面角是銳角.所以二面角的余弦值為.

（法二）過B作于H，連接.

由（1）知平面ABCD，則，

而，所以平面

所以

從而為二面角的平面角.

由等面積法，可得，即.

所以，

故.