【題目】已知函數(shù)
.
(1)若曲線在
處切線的斜率為
,求此切線方程;
(2)若有兩個極值點
,求
的取值范圍,并證明:
.
【答案】(1);(2)
,證明見解析.
【解析】分析:(1)由函數(shù)的解析式可得,利用
可得
, 則切點為
,切線方程為
.
(2)結合(1)中導函數(shù)的解析令,得
.構造函數(shù),令
,則
,利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知
在
遞增,在
遞減,所以
. 結合題意可得
的取值范圍是
. 由極值點的性質(zhì)可得
不妨設
,則
,
,結合
的單調(diào)性可得
,據(jù)此有
,即
.
詳解:(1)∵,∴
,解得
,
∴,故切點為
,
所以曲線在
處的切線方程為
.
(2),令
,得
.
令,則
,
且當時,
;當
時,
;
時,
.
令,得
,
且當時,
;當
時,
.
故在
遞增,在
遞減,所以
.
所以當時,
有一個極值點;
時,
有兩個極值點;
當時,
沒有極值點.
綜上,的取值范圍是
.
因為是
的兩個極值點,所以
即
…①
不妨設,則
,
,
因為在
遞減,且
,所以
,即
…②.
由①可得,即
,
由①,②得,所以
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】全世界越來越關注環(huán)境保護問題,某監(jiān)測站點于2018年1月某日起連續(xù)天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)(
),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:
空氣質(zhì)量指數(shù)( | |||||
空氣質(zhì)量等級 | 空氣優(yōu) | 空氣良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 20 | 40 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出,
的值,并完成頻率分布直方圖;
(2)由頻率分布直方圖,求該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于和
的監(jiān)測數(shù)據(jù)中,用分層抽樣的方法抽取
天,再從中任意選取
天,求事件
“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(12分)
煉鋼是一個氧化降碳的過程,由于鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短,因此必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關系.現(xiàn)已測得爐料熔化完畢時鋼水的含碳量x與冶煉時間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時間)的一組數(shù)據(jù),如下表所示:
(1)據(jù)統(tǒng)計表明,之間具有線性相關關系,請用相關系數(shù)r加以說明(
,則認為y與x有較強的線性相關關系,否則認為沒有較強的線性相關關系,r精確到0.001);
(2)建立y關于x的回歸方程(回歸系數(shù)的結果精確到0.01);
(3)根據(jù)(2)中的結論,預測鋼水含碳量為160個0.01%的冶煉時間.
參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
,相關系數(shù)
參考數(shù)據(jù):,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;
(Ⅲ)若,使
(
)成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點分別是圓心在原點,半徑為
和
的圓上的動點.動點
從初始位置
開始,按逆時針方向以角速度
作圓周運動,同時點
從初始位置
開始,按順時針方向以角速度
作圓周運動.記
時刻,點
的縱坐標分別為
.
(Ⅰ)求時刻,
兩點間的距離;
(Ⅱ)求關于時間
的函數(shù)關系式,并求當
時,這個函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. (-∞,0) B. C. (0,1) D. (0,+∞)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】實數(shù)m取什么值時,復平面內(nèi)表示復數(shù)z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的點.
(1)位于第四象限?
(2)位于第一、三象限?
(3)位于直線y=x上?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為紀念重慶黑山谷晉升國家5A級景區(qū)五周年,特發(fā)行黑山谷紀念郵票,從2017年11月1日起開始上市.通過市場調(diào)查,得到該紀念郵票在一周內(nèi)每1張的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的數(shù)據(jù)如下:
上市時間x天 | 1 | 2 | 6 |
市場價y元 | 5 | 2 | 10 |
(Ⅰ)分析上表數(shù)據(jù),說明黑山谷紀念郵票的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的變化關系,并判斷y與x滿足下列哪種函數(shù)關系,①一次函數(shù);②二次函數(shù);③對數(shù)函數(shù),并求出函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)利用你選取的函數(shù),求黑山谷紀念郵票市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機會,通過隨機抽樣,得到參與問卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結果如表所示:
組別 | ||||||
男 | 2 | 3 | 5 | 15 | 18 | 12 |
女 | 0 | 5 | 10 | 10 | 7 | 13 |
(1)若規(guī)定問卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關注者”,請完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.05的前提下,認為是否為“環(huán)保關注者”與性別有關?
(2)若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達人”.視頻率為概率.
①在我市所有“環(huán)保達人”中,隨機抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達人”又有女“環(huán)保達人”的概率;
②為了鼓勵市民關注環(huán)保,針對此次的調(diào)查制定了如下獎勵方案:“環(huán)保達人”獲得兩次抽獎活動;其他參與的市民獲得一次抽獎活動.每次抽獎獲得紅包的金額和對應的概率.如下表:
紅包金額(單位:元) | 10 | 20 |
概率 |
現(xiàn)某市民要參加此次問卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額,求
的分布列及數(shù)學期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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