Question

已知直線xsinα+ycosα+1=0（a∈R），給出下列四個(gè)命題：
（1）直線的傾斜角是π-α；
（2）無論a如何變化，直線不過原點(diǎn)；
（3）無論a如何變化，直線總和一個(gè)定圓相切；
（4）當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1；
其中正確命題的序號(hào)是

（2）（3）（4）

．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)全填上）

Answer 1

分析：根據(jù)傾斜角的范圍，可判斷（1）；將（0，0）代入直線方程，可判斷（2）；將原點(diǎn)和直線方程代入直線距離公式，可得直線總和單位圓相切，可判斷（3）；求出三角形面積公式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可判斷（4）

解答：解：根據(jù)傾斜角的范圍為[0，π），而π-α∈R，可知（1）錯(cuò)誤；
當(dāng)x=y=0時(shí)，xsinα+ycosα+1=1≠0，故直線必不過原點(diǎn)，故（2）正確；
原點(diǎn)到直線的距離d=1，故直線總和單位圓相切，故（3）正確；
當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=

1

2

|

1

sinα•cosα

|=

1

|sin2α|

≥1，故（4）正確
故答案為：（2）（3）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了直線的傾斜角，點(diǎn)與直線的關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中等．