Question

已知直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0，下列命題中真命題序號為

②③④

①直線l的斜率為tanθ；
②存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意的θ，直線l恒過定點(diǎn)；
③對任意非零實(shí)數(shù)λ，都有對任意的θ，直線l與同一個(gè)定圓相切；
④若圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點(diǎn)恰好3個(gè)，則λ=±1．

Answer 1

分析：①當(dāng)cosθ=0時(shí)，直線l沒有斜率；②存在實(shí)數(shù)λ=0，使得對任意的θ，直線l恒過定點(diǎn)（0，0），故②正確；③對任意非零實(shí)數(shù)λ，都有對任意的θ，直線l與同一個(gè)定圓（x+1）²+y²=λ²相切；④由圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點(diǎn)恰好3個(gè)，知圓（x+1）²+y²=4的圓心（-1，0）到直線xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0的距離為1，由此求出λ=±1．

解答：解：①當(dāng)cosθ=0時(shí)，直線l沒有斜率，故①不正確；
②當(dāng)λ=0時(shí)，直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ=0，
當(dāng)sinθ=0時(shí)，cosθ=1，直線l：-y=0過定點(diǎn)（0，0），
當(dāng)sinθ≠0時(shí)，直線l：x-

cosθ

sinθ

y=0過定點(diǎn)（0，0），
∴存在實(shí)數(shù)λ=0，使得對任意的θ，直線l恒過定點(diǎn)（0，0），故②正確；
③∵直線l：xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0，
∴點(diǎn)（-1，0）到直線l的距離d=

|-sinθ-0+sinθ+λ|

sin2θ+cos2θ

=|λ|，
∴對任意非零實(shí)數(shù)λ，都有對任意的θ，
直線l與同一個(gè)定圓（x+1）²+y²=λ²相切，故③正確；
④∵圓O：（x+1）²+y²=4上到直線l距離為1的點(diǎn)恰好3個(gè)，
∴圓（x+1）²+y²=4的圓心（-1，0）到直線xsinθ-ycosθ+sinθ+λ=0的距離為1，
∴|-sinθ-0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線、圓、點(diǎn)到直線距離公式等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．