Question

已知函數f（x）=2^x-2^-x，則f（x）是（　�。�

• A、奇函數且是增函數
• B、奇函數且是減函數
• C、偶函數且是增函數
• D、偶函數且是減函數

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：首先求出定義域，再運用定義判斷函數的奇偶性，再應用函數的單調性定義，判斷函數的單調性，注意分：設自變量-作差-變形-確定符號-下結論．

解答： 解：函數f（x）=2^x-2^-x的定義域為R，
∵f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），
∴f（x）是奇函數，
又設x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=（2^x₁-2^-x₁）-（2^x₂-2^-x₂）=（2^x₁-2^x₂）+（2^-x₂-2^-x₁）
∵x₁＜x₂，∴2^x₁＜2^x₂，即2^x₁-2^x₂＜0，
∴-x₁＞-x₂，2^-x₁＞2^-x₂，即2^-x₂-2^-x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）是R上的增函數．
故選A．

點評：本題考查函數的性質及應用，考查函數的奇偶性的定義，應注意定義域必須關于原點對稱，及函數的單調性的定義，注意解題步驟，該題是一道基礎題．