Question

關(guān)于函數(shù)f（x）=

|x|

|x|-1

給出下列四個命題：
①當(dāng)x＞0時，y=f（x）單調(diào)遞減且沒有最值；
②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
③如果方程f（x）=k有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)；
④y=f（x）是偶函數(shù)且有最小值．則其中真命題是

 

．（只要寫標題號）

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①x＞0時，由x≠1知y=f（x）不具有單調(diào)性，判定命題錯誤；
②函數(shù)f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函數(shù)，在x＞0且k＞0時，判定函數(shù)y=f（x）與y=kx在第一象限內(nèi)有交點；由對稱性知，x＜0且k＞0時，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第二象限內(nèi)有交點；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；
③函數(shù)f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函數(shù)，且f（x）=0，舉例說明k=0時，方程f（x）=k有1個解；
④函數(shù)f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，即可判斷結(jié)論是否正確．

解答： 解：①當(dāng)x＞0時，y=f（x）=

x

x-1

=1+

1

x-1

在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上分別是單調(diào)遞減的函數(shù)，且無最值；
∴命題①錯誤；
②函數(shù)f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，y=f（x）=

x

x-1

=1+

1

x-1

在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上分別是單調(diào)遞減的函數(shù)；
當(dāng)k＞0時，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第一象限內(nèi)一定有交點；
由對稱性知，當(dāng)x＜0且k＞0時，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第二象限內(nèi)一定有交點；
∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
∴命題②正確；
③∵函數(shù)f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函數(shù)，且f（x）=0當(dāng)k=0時，函數(shù)y=f（x）與y=k的圖象只有一個交點，∴方程f（x）=k的解的個數(shù)是奇數(shù)；∴命題③錯誤；
④∵函數(shù)f（x）=

|x|

|x|-1

是偶函數(shù)，x≠±1，
x＞0時，y=f（x）=

x

x-1

=1+

1

x-1

在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上分別是單調(diào)遞減的函數(shù)；
由對稱性知，x＜0時，y=f（x）=

-x

-x-1

=1-

1

x+1

在區(qū)間（-∞，-1）和（-1，0）上分別是單調(diào)遞增的函數(shù)；
如圖所示，
∴函數(shù)f（x）無最小值，命題④錯誤．
故答案為：②．

點評：本題考查了含有絕對值的分式函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題，解題時應(yīng)先去掉絕對值，化為分段函數(shù)，把分式函數(shù)分離常數(shù)，是易錯題．