Question

已知函數(shù)f（x）在（-1，1）上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＜0，且對定義域內(nèi)任意x，y，都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．
（1）證明函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）求滿足不等式f（3-2x）+f（3x-4）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，即有f（0）=0，由于定義域為（-1，1）關(guān)于原點對稱，令y=-x，則由奇偶性的定義，即可得證；
（2）可運用單調(diào)性的定義先證（0，1）上的單調(diào)性，注意運用條件0＜x＜1時，f（x）＜0，由于函數(shù)f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)，即可得證；
（3）由f（x）為奇函數(shù)，則不等式f（3-2x）+f（3x-4）＜0即為f（3-2x）＜f（4-3x），再由單調(diào)性，列出不等式組，解出它們，求交集即可．

解答： （1）證明：令x=y=0，則f（0）+f（0）=f（0），即有f（0）=0，
由于定義域為（-1，1）關(guān)于原點對稱，
令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明：令0＜x₁＜x₂＜1，則0＜x₂-x₁＜1，1-x₁x₂＞0，
x₂-x₁-1+x₁x₂=（1+x₁）（x₂-1）＜0，即有0＜

x2-x1

1-x1x2

＜1．
則f（

x2-x1

1-x1x2

）＜0，
令x=x₂，y=-x₁，則f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

）＜0，
即有f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
則有f（x）在（0，1）內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，
由于函數(shù)f（x）是（-1，1）上的奇函數(shù)，
則f（x）在（-1，0）上也是單調(diào)遞減函數(shù)，
且f（0）=0，函數(shù)f（x）在（-1，1）上連續(xù)，
故f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減；
（3）解：由f（x）為奇函數(shù)，則
不等式f（3-2x）+f（3x-4）＜0
即為f（3-2x）＜-f（3x-4）=f（4-3x），
再由f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，
則

-1＜3-2x＜1 -1＜4-3x＜1 3-2x＞4-3x

，即有

1＜x＜2 1＜x＜ 5 3 x＞1

，
則1＜x＜

5

3

．
故所求的x的取值范圍是（1，

5

3

）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運用，注意定義的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．